Mecanica de los Fluidos - White - 5ta Edición

mecánica de fluidos FRANK M. WHITE

quinta edición

Mecánica de Fluidos

Mecánica de Fluidos Quinta edición

Frank M. White University of Rhode Island Equipo de Traducción: Marcos Vera Coello Miguel Hermanns Navarro Rafael Gómez Blanco Óscar Flores Arias Revisor Técnico: Amable Liñán Martínez Dept. de Motopropulsión y Termofluidodinámica Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid

MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SÃO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO

MECÁNICA DE FLUIDOS. Quinta edición No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2004, respecto a la quinta edición en español, por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U. Edificio Valrealty, 1.a planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) Traducido de la quinta edición en inglés de FLUID MECHANICS Copyright © 2003, por McGraw-Hill, Inc. ISBN: 0-07-240217-2 ISBN: 84-481-4076-1 Depósito legal: M. Editora de la edición en español: Silvia Figueras Asistente editorial: Amelia Nieva Diseño de cubierta: CD-FORM Compuesto en: Fernández Ciudad, S.L. Impreso en: IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN

El autor

Frank M. White es Profesor Emérito de Ingeniería Mecánica y Oceánica en la Universidad de Rhode Island. Estudió en el Instituto Tecnológico de Georgia (Georgia Tech) y en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (M.I.T.). En 1966 colaboró en la creación del departamento de ingeniería oceánica de la Universidad de Rhode Island, el primero de este tipo en EE.UU. Conocido principalmente como profesor y escritor, ha recibido ocho premios de docencia y ha escrito cuatro libros de texto sobre mecánica de fluidos y transferencia de calor. Desde 1979 hasta 1990 fue editor jefe de la revista ASME Journal of Fluids Engineering y después, entre 1991 y 1997, fue director del Consejo de Editores y del Comité de Publicaciones de la ASME (American Society of Mechanical Engineers). Es miembro de la ASME y en 1991 recibió el premio ASME de Ingeniería de Fluidos. Vive con su mujer, Jeanne, en Narragansett, Rhode Island.

A Jeanne

Contenido

Prólogo xi Prólogo a la edición española

Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 124 Problemas extensos 124 Proyectos de diseño 126 Referencias 127

xiv

CAPÍTULO 1 Introducción 3 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14.

Notas preliminares 3 Concepto de fluido 4 El fluido como medio continuo 5 Dimensiones y unidades 6 Propiedades del campo de velocidades 13 Propiedades termodinámicas de un fluido 15 Viscosidad y otras propiedades secundarias 22 Técnicas básicas de análisis de los flujos 36 Descripción del flujo: líneas de corriente, sendas y líneas de traza 37 El resolvedor de ecuaciones de ingeniería 42 Incertidumbre de los datos experimentales 43 El examen de fundamentos de ingeniería (FE) 44 Técnicas de resolución de problemas 45 Historia y perspectiva de la mecánica de fluidos 45 Problemas 46 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 54 Problemas extensos 54 Referencias 57

CAPÍTULO 3 Relaciones integrales para un volumen de control 129 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

CAPÍTULO 4 Relaciones diferenciales para una partícula fluida 219

CAPÍTULO 2 Distribución de presiones de un fluido 59

4.1. 4.2.

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

4.3.

2.10.

Presión y gradiente de presión 59 Equilibrio de una partícula fluida 61 Distribución de presiones en hidrostática 63 Aplicación a la medida de presiones 69 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas 73 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas 79 Fuerzas hidrostáticas en fluidos estratificados 82 Flotación y estabilidad 84 Distribución de presiones en movimiento como sólido rígido 90 Medida de la presión 98 Resumen 102 Problemas 102 Problemas conceptuales 123

Leyes básicas de la mecánica de fluidos 129 Teorema del transporte de Reynolds 133 Conservación de la masa 141 Conservación de la cantidad de movimiento 148 Teorema del momento cinético 161 Ecuación de la energía 166 Flujo sin fricción: la ecuación de Bernoulli 177 Resumen 185 Problemas 186 Problemas conceptuales 213 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 213 Problemas extensos 214 Problemas de diseño 215 Referencias 216

4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11.

El campo de aceleraciones de un fluido 219 La ecuación diferencial de conservación de la masa 221 La ecuación de la cantidad de movimiento en forma diferencial 227 La ecuación diferencial del momento cinético 234 La ecuación diferencial de la energía 235 Condiciones de contorno para las ecuaciones básicas 238 La función de corriente 243 Vorticidad e irrotacionalidad 251 Flujos irrotacionales no viscosos 253 Algunos flujos potenciales planos ilustrativos 258 Algunos flujos viscosos incompresibles ilustrativos 263 Resumen 272 Problemas 272 Problemas conceptuales 282

vii

viii

CONTENIDO

Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 282 Problemas extensos 283 Referencias 284

Resumen 487 Problemas 487 Problemas conceptuales 500 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 500 Problemas extensos 501 Proyectos de diseño 502 Referencias 502

CAPÍTULO 5 Análisis dimensional y semejanza 287 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Introducción 287 El principio de hom*ogeneidad dimensional 290 El teorema Pi 295 Adimensionalización de las ecuaciones básicas 301 La modelización y sus dificultades 310 Resumen 320 Problemas 320 Problemas conceptuales 328 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 329 Problemas extensos 329 Proyectos de diseño 330 Referencias 331

CAPÍTULO 8 Flujo potencial y mecánica de fluidos computacional 505 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9.

CAPÍTULO 6 Flujo viscoso en conductos 335 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11 6.12.

Regímenes en función del número de Reynolds 335 Flujos internos y flujos externos 340 Pérdida de carga; el coeficiente de fricción 342 Flujo laminar completamente desarrollado en conductos circulares 344 Modelización de la turbulencia 347 Flujo turbulento en conductos circulares 353 Tres tipos de problemas sobre flujo en tubos 360 Flujo en conductos no circulares 366 Pérdidas localizadas en sistemas de tuberías 376 Sistemas de tuberías 384 Experimentación de flujos en conductos: actuaciones de un difusor 390 Medidores en fluidos 395 Resumen 414 Problemas 414 Problemas conceptuales 431 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 431 Problemas extensos 432 Proyectos de diseño 434 Referencias 434

CAPÍTULO 9 Flujo compresible 579 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10.

CAPÍTULO 7 Flujo alrededor de cuerpos 437 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

Efectos geométricos y del número de Reynolds 437 Métodos integrales en la teoría de la capa límite 440 Las ecuaciones de capa límite 444 Capa límite sobre una placa plana 446 Capa límite con gradiente de presión 455 Experimentación en flujos externos 461

Introducción y repaso 505 Soluciones elementales en flujos planos 508 Superposición de soluciones de flujos planos 510 Flujos planos alrededor de cuerpos cerrados 516 Otros flujos potenciales planos 525 Imágenes 530 Teoría de perfiles 532 Flujo potencial axilsimétrico 543 Análisis numérico 549 Resumen 563 Problemas 563 Problemas conceptuales 574 Problemas extensos 574 Proyectos de diseño 576 Referencias 576

Introducción 579 La velocidad del sonido 583 Flujo estacionario adiabático e isentrópico 586 Flujo isentrópico con cambios de área 591 La onda de choque normal 599 Operación de toberas convergentes y divergentes 606 Flujo compresible en conductos con fricción 611 Flujo en conductos sin fricción y con adición de calor 623 Flujo supersónico bidimensional 627 Ondas de expansión de Prandtl-Meyer 637 Resumen 650 Problemas 650 Problemas conceptuales 663 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 663 Problemas extensos 664 Proyectos de diseño 665 Referencias 666

CAPÍTULO 10 Flujo en canales abiertos 669 10.1. 10.2. 10.3.

Introducción 669 Movimiento uniforme: la fórmula de Chézy 674 Canales eficientes para movimiento uniforme 680

CONTENIDO

10.4. 10.5. 10.6. 10.7.

Energía específica; calado crítico 682 El resalto hidráulico 689 Movimiento gradualmente variado 694 Control y medida de caudales mediante vertederos 701 Resumen 708 Problemas 709 Problemas conceptuales 720 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 720 Problemas extensos 720 Proyectos de diseño 721 Referencias 722

11.5. 11.6.

Acoplamiento de bombas a una red 751 Turbinas 756 Resumen 769 Problemas 769 Problemas conceptuales 780 Problemas extensos 780 Proyecto de diseño 782 Referencias 782

Apéndice A Propiedades físicas de los fluidos 785 Apéndice B Tablas para flujos compresibles 791

CAPÍTULO 11 Turbomáquinas 725 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

Introducción y clasificación 725 La bomba centrífuga 728 Curvas características de bombas y reglas de semejanza 734 Bombas helicocentrífugas y axiales: la velocidad específica 743

Apéndice C Factores de conversión 807 Apéndice D Ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas 811 Solución de problemas seleccionados 813 Índice 821

Prólogo

ENFOQUE GENERAL En la quinta edición del libro Mecánica de Fluidos se ha añadido y suprimido material con respecto a ediciones anteriores, aunque la filosofía del libro se mantiene intacta. La estructura básica, compuesta por once capítulos y apéndices, sigue igual. Se siguen discutiendo los tres métodos: integral, diferencial y experimental. Se han añadido nuevos problemas, y se han modificado muchos de los problemas y ejemplos de trabajo. Se ha mantenido el estilo informal, orientado a los estudiantes, y se han añadido bastantes fotografías y figuras nuevas.

HERRAMIENTAS DE APRENDIZAJE El número de problemas continúa aumentando: de los 1089 de la primera edición se ha pasado a 1169 en la segunda, 1392 en la tercera, 1500 en la cuarta y 1650 en esta quinta edición. La mayor parte de ellos son los problemas estándar de final de capítulo, clasificados por temas. También hay problemas conceptuales, problemas tipo test del Examen de Fundamentos de Ingeniería, problemas extensos y proyectos de diseño. En el apéndice se recogen las respuestas a los problemas seleccionados (los de numeración par). Los problemas de ejemplo del texto principal han sido reestructurados de nuevo, siguiendo la secuencia de pasos indicada en la Sección 1.13, con el objetivo de proporcionar una estrategia uniforme de resolución de problemas a los estudiantes.

CAMBIOS DE CONTENIDO Hay varias modificaciones en cada capítulo. El Capítulo 1 se ha reducido considerablemente, trasladando los temas más avanzados a capítulos posteriores. Por su gran importancia, se han añadido nuevas discusiones y nuevas figuras relativas a la visualización de flujos. El Capítulo 2 contiene material nuevo sobre transductores de presión. El Capítulo 3 introduce una lista de sugerencias específicas para tratar las dificultades de la ecuación de cantidad de movimiento. La ecuación de Bernoulli sigue incluyéndose al final en lugar de tratarse en un nuevo capítulo. Se hace énfasis en las numerosas restricciones a las que está sometida la ecuación de Bernoulli, que con frecuencia utilizan de forma incorrecta tanto los estudiantes como los ingenieros graduados. El Capítulo 4 incluye ahora el análisis del flujo laminar de Poiseuille en conductos, como un ejemplo de solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes. Este tema se vuelve a tratar brevemente en el Capítulo 6. Si no está de acuerdo con este orden, se pueden omitir las Secciones 4.10 y 4.11 y tratarlas entonces. El Capítulo 5 contiene ahora una sección completa donde se discute cómo elegir las variables dimensionalmente independientes adecuadas para el análisis dimensional. Decidiendo en primer lugar cómo se escalan y cómo se presentan los datos, la ambigüedad desaparece o al menos se reduce. En el Capítulo 6 se ha añadido una nueva sección sobre las pérdidas de carga y el coeficiente de fricción. El flujo laminar y turbulento en tuberías se estudia de forma separada para aumentar la claridad. Los modelos de turbulencia se incluyen ahora en una nueva sección. Se han añadido nuevos datos sobre pérdidas localizadass, y se discuten nuevos medidores de caudal. Los medidores de orificio y tobera incluyen ahora un factor de corrección por compresibilidad. xi

xii

PRÓLOGO

El Capítulo 7 contiene nuevas discusiones sobre Mecánica de Fluidos Computacional (CFD, Computational Fluid Mechanics) y más detalles sobre la aproximación de capa límite. Se ha añadido una nueva sección sobre movimientos lentos. El Capítulo 8, salvo por la adición de nuevos problemas y referencias, queda prácticamente igual. Creo que se trata del tratamiento más extenso del flujo potencial en un libro para estudiantes no graduados. En el Capítulo 9 se discuten con mayor detalle los flujos de Fanno y Rayleigh y se presentan algunas de las nuevas tendencias en aeronáutica, tanto subsónicas como supersónicas. El Capítulo 10 contiene más discusiones sobre el número de Froude y ha mejorado el tratamiento de las soluciones compuestas de movimientos gradualmente variados gracias al Profesor Bruce E. LaRock, de la Universidad de California, Davis. Se ha añadido un esquema sencillo de diferencias finitas para movimientos variados que resulta útil cuando las mediciones del campo fluido son escasas. También se ha introducido el concepto de vertedero compuesto. El Capítulo 11 está prácticamente inalterado, excepto por las mejoras y las correcciones introducidas por el Profesor Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick.

MATERIAL SUPLEMENTARIO La página web en inglés del libro, http://www.mhhe.com/white5, contiene una Guía de Estudio para el Estudiante (Student Study Guide), preparada por el Profesor Jerry Dunn, de la Universidad Tecnológica de Texas, que proporciona una revisión concisa de los principales temas tratados en un primer curso; versiones interactivas de los problemas del Examen de Fundamentos de Ingeniería (FE, Fundamentals of Engineering) incluidos en el texto, preparados por el Profesor Edward Anderson, de la Universidad Tecnológica de Texas, que pueden servir para preparar el examen o como autoevaluación; un enlace a la página web de EES; y versiones PowerPoint de todas las figuras del texto.

AGRADECIMIENTOS Como de costumbre, hay tanta gente que ha colaborado en la elaboración de este libro que me es imposible recordarlos y enumerarlos a todos. Agradezco las numerosas sugerencias y mejoras realizadas durante la escritura del libro por Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick. Todas las revisiones, junto con el material adicional, incluyendo el Manual de Soluciones, fueron revisados y corregidos por mi colega Elizabeth J. Kenyon. Muchos otros colaboradores realizaron numerosas sugerencias y correcciones, proporcionaron material para el libro y me dieron ánimos para seguir adelante: Alex Smits, Universidad de Princeton; Ray Taghavi, Universidad de Kansas; Ganesh Raman, Instituto Tecnológico de Illinois; Phil Combs, B. D. Fuller y Wayne Stroupe, U.S. Army Waterways Experiment Station; John Cimbala, Universidad del Estado de Pennsylvania; Sheldon Green, Universidad de la Columbia Británica; Nikos J. Mourtos, Universidad del Estado de San José; Jacques Lewalle, Universidad de Syracuse; Richard McCuen, Universidad de Maryland; Andris Skattebo, Scandpower A/S; Bruce E. Larock, Universidad de California, Davis; Sandra Barrette y Joan Zimmer, Badger Meter, Inc.; Dean Mohan, PCB Piezotronics; Andrei Smirnov e Ismail Celik, Universidad de West Virginia; Fernando Tavares de Pinho, CEFT-Transport Phenomena Research Centre, Portugal; S. Y. Son, Ken Kihm y J. C. Han, Universidad de Texas A&M; Ethan Lipman, Universidad de California, Davis; Deborah Pence, Universidad del Estado de Oregon; Debendra K. Das, Universidad de Alaska, Fairbanks; John Gay y Nick Galante, U.S. Navy; Dimitre Karamanev, Universidad de Western Ontario; Jay M. Khodadadi, Universidad de Auburn; John Foss, Universidad del Estado de Michigan; William Palm y Raymond Wright, Universidad de Rhode Island; Haecheon Choi, Universidad Nacional de Seoul, Korea; Lee Jay Fingersh, National Renewable Energy Laboratory; John Sheridan, Universidad de Monash; Jason Reese, Universidad de Londres; Samuel S. Sih, Walla Walla College; Chihyung Wen, Universidad de Da-Yeh, Taiwan; Tim Gourlay, Australian Maritime College; Azer Yalin, Universidad del Estado de Colorado; Donald E. Richards, Instituto Rose-Hulman; Bob Oakberg, Universidad del Estado de Montana; Brian James Savilonis, Instituto Politécnico de Worcester; Ryoichi S. Amano, Ph.D., Universidad de Wisconsin-Milwaukee; James D. McBrayer, P.E., D.Sc., Universidad de Florida Central; Don L. Boyer, Universidad del Estado de Arizona; Savas Yavuzkurt, Universidad del Estado de Pennsylvania; Abdul I. Barakat, Universidad de California, Davis; James A. Liburdy, Universidad del Estado de Oregon; Clement Kleinstreuer, Universidad del Estado de Carolina del Norte, Raleigh; Robert G. Oakberg, Uni-

PRÓLOGO

xiii

versidad del Estado de Montana. También han colaborado en la revisión: Dr. John W. Nicklow, P.E., P.H., Universidad del Sur de Illinois, Carbondale; Gary Tatterson, Universidad del Estado de North Carolina A&T; Anthony J. McHugh, Universidad de Illinois; Soyoung Cha, Universidad de Illinois-Chicago; Donald Carlucci, Instituto de Tecnología Stevens; Darrell W. Pepper, Ph.D., Universidad de Nevada, Las Vegas; y Farhan H. Chowdhury, Universidad de Ingeniería y Tecnología de Bangladesh. Como viene siendo habitual, la colaboración del personal de McGraw-Hill fue de enorme ayuda. Quiero dar las gracias a Jonathan Plant, Amy Hill, Regina Brooks, Rory Stein, Jill Peter, Brenda Ernzen, Rick Noel, Beverly Steuer, Meg McDonald, David Tietz, Denise Keller, Lauren Timmer y Stephanie Lange. Finalmente, quiero agradecer, como siempre, el apoyo y los ánimos constantes de mi mujer y mi familia.

Prólogo a la edición española

Me complace prologar esta traducción española del libro de Frank M. White, Fluid Mechanics, que a mi juicio representa una introducción excelente a la Mecánica de Fluidos.Cubre muy eficazmente y con el rigor suficiente una gran variedad de temas de interés práctico, sin requerir por parte del alumno un gran nivel de conocimientos matemáticos o físicos de partida. Quisiera resaltar el papel que los numerosos ejercicios de este libro juegan para complementar la exposición de la Mecánica de Fluidos dada en el texto principal. El autor ha conseguido, mediante una cuidadosa selección de los ejercicios, ofrecer al alumno la posibilidad de aprovechar el trabajo que la realización de los ejercicios representa, no sólo para mejorar su comprensión de los temas desarrollados en el texto, sino también para ampliar sus conocimientos y su sentido físico del movimiento de los fluidos y de las aplicaciones prácticas de estos conocimientos. Tanto instructores como alumnos deben ser conscientes de la magnífica oportunidad que este texto les ofrece de hacer más eficaz su labor. Dado que no existe uniformidad en la nomenclatura en español para los distintos conceptos de Mecánica de Fluidos, los traductorres, cuyo profundo conocimiento de la Mecánica de Fluidos me consta, se han visto frecuentemente obligados a hacer una elección entre las varias posibilidades, a sabiendas de que el resultado no puede satisfacer a todos. (Quizá sea especialmente llamativa la elección de tensor de esfuerzos en lugar de la alternativa de tensor de tensiones.) En todo caso los traductores han tratado de hacer aparecer en el texto o en el índice la nomenclatura alternativa. Teniendo en cuenta que en su actividad profesional los futuros ingenieros tendrán, casi inevitablemente, necesidad de utilizar unidades inglesas, se ha mantenido sensiblemente la proporción en que las unidades inglesas y las métricas aparecían en los ejemplos y ejercicios del texto original. Amable Liñán

xiv

Mecánica de fluidos

Huracán Elena en el Golfo de México. A diferencia de la mayor parte de las aplicaciones ingenieriles de la Mecánica de Fluidos a pequeña escala, la dinámica de los huracanes está dominada por la aceleración de Coriolis debida a la rotación de la tierra, que los hace girar en sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio norte. En el presente capítulo se discuten las propiedades físicas y las condiciones de contorno que gobiernan los flujos como estos. (Por cortesía de NASA/Color-Pic Inc-E.R. Degginger/Color-Pic Inc.)

Capítulo 1

Introducción

1.1. NOTAS PRELIMINARES La Mecánica de Fluidos se ocupa del estudio de los fluidos en movimiento (fluidodinámica) o en reposo (fluidoestática). Tanto los líquidos como los gases son considerados fluidos, y el número de aplicaciones de la Mecánica de Fluidos es enorme: respiración, flujo sanguíneo, natación, ventiladores, turbinas, aviones, barcos, ríos, molinos de viento, tuberías, misiles, icebergs, motores, filtros, chorros y aspersores, por mencionar algunas. Bien pensado, casi todas las cosas que existen en este planeta o son un fluido o se mueven inmersas o cerca de un fluido. Como ciencia, está basada en un compromiso adecuado entre teoría y experimentación. Por ser la Mecánica de Fluidos una rama de la mecánica, dispone de un conjunto de leyes de conservación bien documentadas y es posible, por tanto, un tratamiento teórico riguroso. Sin embargo, la teoría es a veces frustrante, porque se refiere principalmente a ciertas situaciones idealizadas que pueden no ser válidas en los casos prácticos. Los dos obstáculos mayores para el tratamiento teórico son la geometría y la viscosidad. La teoría general del movimiento de los fluidos (Capítulo 4) es demasiado difícil para permitir abordar configuraciones geométricas arbitrarias, de modo que la mayor parte de los libros de texto se concentran en placas planas, conductos circulares y otras geometrías sencillas. También es posible aplicar métodos numéricos a geometrías arbitrarias, y actualmente existen libros especializados que explican las aproximaciones y los métodos de la Mecánica de Fluidos Computacional (CFD, Computational Fluid Dynamics) [1, 2, 29].1 Este libro presentará muchos resultados teóricos, teniendo siempre presente sus limitaciones. El segundo obstáculo para la teoría es la acción de la viscosidad, que puede ser despreciada solamente en algunos flujos idealizados (Capítulo 8). En primer lugar, la viscosidad aumenta la dificultad de las ecuaciones básicas, aunque la aproximación de capa límite, hallada por Ludwig Prandtl en 1904 (Capítulo 7), ha simplificado enormemente el análisis de los flujos viscosos. En segundo lugar, la viscosidad afecta a la estabilidad de todos los flujos, lo que salvo a velocidades muy pequeñas da lugar a un fenómeno desordenado y aleatorio llamado turbulencia. La teoría de los flujos turbulentos es rudimentaria y descansa principalmente sobre la experimentación (Capítulo 6), aunque es muy útil para estimaciones ingenieriles. Los libros de texto suelen presentar algoritmos digitales para analizar los flujos turbulentos [32], pero estos métodos no son exactos, sino simples modelos basados en suposiciones empíricas sobre la media temporal del campo de esfuerzos turbulentos. Así pues, existe una teoría para estudiar el flujo de los fluidos, pero en todos los casos debe tener soporte experimental. A menudo, los datos experimentales son la fuente principal de información sobre determinados flujos, como es el caso de la resistencia y la sustentación de cuerpos (Capítulo 7). Afortunadamente, la Mecánica de Fluidos es visualizable, existe buena instrumentación [4, 5, 35] y el uso del análisis dimensional y modelos a escala (Capítulo 5) está muy extendido. De este modo, la experimentación proporciona un complemento natural y sencillo a la teoría. Se debe tener en cuenta que teoría y experimentación van de la mano en todos los estudios de Mecánica de Fluidos.

Las referencias numeradas aparecen al final de cada capítulo.

MECÁNICA DE FLUIDOS

1.2. CONCEPTO DE FLUIDO Desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos, la materia sólo puede presentarse en dos estados: sólido y fluido. La diferencia entre ambos es perfectamente obvia para el lego y es un ejercicio interesante preguntar a alguien que explique esta diferencia en palabras. La distinción técnica radica en la reacción de ambos a un esfuerzo tangencial o cortante. Un sólido puede resistir un esfuerzo cortante con una deformación estática; un fluido, no. Cualquier esfuerzo cortante aplicado a un fluido, no importa cuán pequeño sea, provocará el movimiento del fluido. Éste se mueve y se deforma continuamente mientras se siga aplicando el esfuerzo cortante. Como corolario, podemos decir que un fluido en reposo debe estar en un estado de esfuerzo cortante nulo; estado que se denomina a menudo condición hidrostática de esfuerzos en análisis estructural. En esta condición, el círculo de Mohr se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante en ningún plano que corte al elemento en cuestión. Dada la definición de fluido, cualquier lego sabe que existen dos clases de fluidos, líquidos y gases. De nuevo, la distinción es técnica y concierne al efecto de las fuerzas cohesivas. Un líquido, al estar compuesto por agrupaciones de moléculas muy cercanas con enormes fuerzas cohesivas, tiende a conservar su volumen y formará una superficie libre en un campo gravitatorio si no está limitado por arriba. Los flujos con superficie libre están dominados por efectos gravitatorios y se estudian en los Capítulos 5 y 10. Como las moléculas de gas están muy separadas entre sí, con fuerzas cohesivas despreciables, un gas es libre de expansionarse hasta que encuentre paredes que lo confinan. Un gas no tiene volumen definido y por sí mismo, sin confinamiento, forma una atmósfera que es esencialmente hidrostática. El comportamiento hidrostático de líquidos y gases se muestra en el Capítulo 2. Los gases no forman superficies libres y en los flujos gaseosos raramente influyen otros efectos gravitatorios distintos de los de flotabilidad. La Figura 1.1 muestra un bloque sólido apoyado sobre un plano rígido y deformado por su propio peso. El sólido adquiere una deflexión estática, marcada exageradamente con una línea a trazos, resistiendo esfuerzos cortantes2 sin fluir. El diagrama de equilibrio del elemento A del lateral del bloque muestra un esfuerzo cortante a lo largo del plano cortado a un ángulo θ. Como las paredes del bloque no están sometidas a esfuerzos, el elemento A tiene esfuerzo nulo a la derecha y a la izquierda y esfuerzo de compresión σ = –p arriba y abajo. El círculo de Mohr no se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante nulo en el bloque. Contrariamente, el líquido y el gas en reposo de la Figura 1.1 necesitan paredes para eliminar el esfuerzo cortante. Las paredes ejercen una compresión –p y el círculo de Mohr se reduce a un punto con esfuerzo cortante nulo en todas partes, o sea, está en la condición hidrostática. El líquido mantiene su volumen y forma una superficie libre sin llenar completamente el recipiente. Si se quitan las paredes, se crea esfuerzo cortante y el líquido se derrama. Si el recipiente se inclina, también aparece esfuerzo cortante, se forman ondas y la superficie adopta una posición horizontal, desbordándose llegado el caso. Mientras tanto, el gas se expande fuera del recipiente, llenando todo el espacio disponible. El elemento A, en el gas, también está en la condición hidrostática y ejerce una compresión –p sobre la pared. En la discusión anterior se puede distinguir claramente entre sólidos, líquidos y gases. La mayor parte de los problemas ingenieriles de la Mecánica de Fluidos se refieren a estos casos claros, por ejemplo, los líquidos comunes como agua, aceite, mercurio, gasolina y alcohol y a los gases comunes como aire, helio, hidrógeno y vapor de agua en el rango de temperaturas y presiones normales. Sin embargo, existen muchos casos límites sobre los que se debe advertir. Algunas sustancias, aparentemente «sólidas» como asfalto y grafito, resisten esfuerzos cortantes durante breves periodos, pero realmente se deforman y presentan comportamiento de fluido en periodos de tiempo largos. Otras sustancias, particularmente coloides y mezclas espesas, resisten pequeñas cortaduras, pero «se rompen» a elevados esfuerzos cortantes y fluyen como fluidos. Hay libros de texto especializados dedicados al estudio general de la deformación y el flujo, campo denominado reología [6]. Por otra parte, los líquidos y gases pueden coexistir en mezclas bifásicas, tales como vapor-agua o agua con burbujas de aire. Algunos libros de texto presentan el análisis de estos flujos bifásicos [7]. Finalmente, hay situaciones en que la diferencia entre líquido y gas se difumina. Esto ocurre a temperaturas y presiones por encima del llamado punto crítico de la sustancia, donde sólo existe una fase semejante al gas. A medida que la presión aumenta muy por encima del punto crítico, la sustancia gaseosa se hace tan densa que parece líquido y las aproximaciones termodinámicas usuales, como la ley de los gases perfectos, dejan de ser fiables. La temperatura y presión críticas del agua son Tc = 647 K y pc = 219 atm3, de manera que los problemas típicos con agua o vapor están por debajo de dicho punto. El aire, por ser una mezcla de gases, no tiene punto crítico propio, pero su principal componente, el nitrógeno, tiene Tc = 126 K y pc = 34 atm. Por ello, en los pro2 3

Utilizamos el término esfuerzo análogo al de tensión, es decir, con significado de fuerza por unidad de superficie (N. del T.). Una atmósfera equivale a 101.300 Pa = 2116 lbf/ft2.

INTRODUCCIÓN

Superficie libre

Deflexión estática

A Sólido

A Líquido

Gas

(a)

σ1 θ

τ1

τ=0

0 0

–σ = p

(1) 2θ

Condición hidrostática

–p

(b)

(d )

Figura 1.1. Un sólido en equilibrio puede soportar esfuerzo cortante. (a) Deflexión estática del sólido; (b) equilibrio y círculo de Mohr del elemento A del sólido. Un fluido no puede. (c) Se necesitan paredes de contención; (d) equilibrio y círculo de Mohr para el elemento A del fluido.

blemas típicos, con altas temperaturas y bajas presiones comparadas con su punto crítico, el aire se comporta claramente como un gas. Este libro tratará solamente sobre líquidos y gases identificables como tales, y los casos límites citados anteriormente quedan fuera de nuestro objetivo.

1.3. EL FLUIDO COMO MEDIO CONTINUO Hemos utilizado ya términos técnicos tales como presión y densidad del fluido sin una discusión rigurosa de su definición. Sabemos que los fluidos son agregaciones de moléculas, muy separadas en los gases y próximas en los líquidos. La distancia entre las moléculas es mucho mayor que el diámetro molecular. Las moléculas no están fijas en una red, sino que se mueven libremente. Por ello, la densidad, o masa por unidad de volumen, no tiene un significado preciso, pues el número de moléculas en el interior de un volumen cualquiera cambia continuamente. Este efecto pierde importancia si la unidad de volumen es mucho mayor que el cubo del espaciado molecular, ya que el número de moléculas contenidas permanecerá prácticamente constante a pesar del considerable intercambio a través de su contorno. Si la unidad de volumen escogida es demasiado grande, puede haber una variación notable en la distribución global de partículas. Esta situación está ilustrada en la Figura 1.2, donde la «densidad» calculada a partir de la masa molecular δm de un volumen dado δ, aparece en función del volumen escogido. Hay un volumen límite δ* por debajo del cual las variaciones moleculares pueden ser importantes y por encima del cual las variaciones macroscópicas también lo pueden ser. La densidad ρ de un fluido se define de modo óptimo como

bm b A b * b lím

(1.1)

MECÁNICA DE FLUIDOS

ρ Volumen elemental

ρ = 1000 kg/m3 δ

Incertidumbre macroscópica

ρ = 1100 ρ = 1200

Incertidumbre microscópica

1200

ρ = 1300 0

δ* ≈ 10-9 mm3

Región fluida (a)

(b)

Figura 1.2. Definición de la densidad del fluido como medio continuo: (a) volumen elemental en una región fluida de densidad variable; (b) densidad calculada en función del tamaño del volumen elemental.

El volumen límite δ* es alrededor de 10–9 mm3 para todos los líquidos y gases a presión atmosférica. Por ejemplo, 10–9 mm3 de aire en condiciones normales contienen aproximadamente 3 × 107 moléculas, lo cual es suficiente para definir una densidad prácticamente constante de acuerdo con la Ecuación (1.1). La mayor parte de los problemas ingenieriles están relacionados con dimensiones físicas mucho mayores que este volumen límite, de modo que la densidad es esencialmente una función puntual y las propiedades del fluido pueden considerarse como variables continuas en el espacio, como se esquematiza en la Figura 1.2a. Un fluido de este tipo se denomina medio continuo, lo cual significa que la variación de sus propiedades es tan suave que se puede utilizar el cálculo diferencial para analizarlo. En todos los estudios incluidos en este libro consideraremos válida esta premisa. También en este sentido hay casos límite para gases a tan bajas presiones que su espaciado molecular y su camino libre medio4 son comparables, o mayores, que el tamaño del sistema. Esto obliga a abandonar la aproximación de medio continuo en favor de la teoría molecular del flujo de gases enrarecidos [8]. En principio, todos los problemas de Mecánica de Fluidos pueden ser abordados desde el punto de vista molecular, pero no lo haremos aquí. Se debe resaltar que el uso del cálculo diferencial no prejuzga la posibilidad de saltos discontinuos en las propiedades fluidas a través de superficies libres o de ondas de choque en fluidos compresibles (Capítulo 9). Nuestros cálculos deben ser suficientemente flexibles para poder trabajar con condiciones de contorno discontinuas.

1.4. DIMENSIONES Y UNIDADES Dimensión es la medida por la cual una variable física se expresa cuantitativamente. Unidad es una forma particular de asignar un número a la dimensión cuantitativa. Así, la longitud es una dimensión asociada a variables como distancia, desplazamiento, anchura, deflexión y altura, mientras que centímetros y pulgadas son unidades numéricas para expresar la longitud. La dimensión es un concepto muy poderoso sobre el que se ha desarrollado la espléndida herramienta físico-matemática del análisis dimensional (Capítulo 5), mientras que las unidades son los números que se buscan como respuesta final. Los sistemas de unidades han variado siempre de país a país, incluso después de adoptarse acuerdos internacionales. Los ingenieros necesitan números y, por tanto, sistemas de unidades, y esos números deben ser fiables porque la seguridad pública está en juego. No se puede diseñar y construir un sistema de tuberías cuyo diámetro es D y cuya longitud es L. Los ingenieros norteamericanos persisten en utilizar el sistema británico de unidades. Hay mucha posibilidad de error en este sistema y muchos estudiantes han fallado un problema por olvidar un factor de conversión de 12 o 144 o 32,2 o 60 o 1,8. Los ingenieros, en la práctica, pueden cometer los mismos errores. El autor tiene la experiencia personal de un grave error en el diseño preliminar de un avión debido al olvido de un factor de 32,2 para convertir libras-masa en «slugs».5

4 5

Distancia media entre colisiones moleculares. Unidad de masa en el sistema británico (N. del T.).

INTRODUCCIÓN

En una reunión internacional celebrada en Francia en 1872 se propuso la Convención Métrica, un tratado que fue firmado en 1875 por 17 países, incluidos los Estados Unidos de América. Constituía una apreciable mejora sobre el sistema británico, pues su base es el número 10, que es la base del sistema numérico aprendido desde la infancia en todas partes. Aún quedaban problemas porque incluso los países con sistema métrico utilizaban a veces los kilopondios en lugar de dinas o newtones, kilogramos en lugar de gramos, o calorías en lugar de julios. Para uniformizar el sistema métrico, una Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en 1960, con asistencia de 40 países, propuso el Sistema Internacional de Unidades (SI). Actualmente pasamos un arduo periodo de transición hacia el SI, que probablemente durará aún muchos años. Las asociaciones profesionales dirigen el cambio. Desde el 1 de julio de 1974 se obliga a utilizar el SI en todos los trabajos publicados por la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME, American Society of Mechanical Engineers), que preparó un folleto explicativo al respecto [9]. El presente libro utilizará simultáneamente el SI y el sistema británico.

Dimensiones primarias En Mecánica de Fluidos sólo hay cuatro dimensiones primarias, de las cuales derivan las demás. Son masa, longitud, tiempo y temperatura.6 Estas dimensiones y sus unidades en ambos sistemas aparecen en la Tabla 1.1. Nótese que la unidad Kelvin no utiliza el símbolo de grado. Las llaves que engloban un símbolo como {M} significan «dimensiones de» masa. Todas las demás variables en Mecánica de Fluidos pueden expresarse en función de {M}, {L}, {T} y {Θ}. Por ejemplo, la aceleración tiene dimensiones de {LT–2}. La más importante de estas dimensiones secundarias es la fuerza, directamente relacionada con masa, longitud y tiempo a través de la segunda ley de Newton. La fuerza es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento o, si la masa es constante, F = ma

(1.2)

De aquí podemos ver que, dimensionalmente, {F} = {MLT–2}. La constante de proporcionalidad se elimina definiendo la unidad de fuerza exactamente en función de las unidades primarias. Así definimos el newton y la libra-fuerza 1 newton fuerza = 1 N ≡ 1 kg · 1 m/s2 1 libra fuerza = 1 lbf ≡ 1 slug · 1 ft/s2 = 4,4482 N

(l.3)

En este libro se usará la abreviatura lbf para la libra-fuerza y lb para la libra-masa. Si se adopta otra unidad de fuerza como la dina o el kilopondio, o se toma otra unidad de masa como el gramo o la libra-masa, se debe incluir en la Ecuación (l.2) una constante de proporcionalidad gc. En este libro no se utilizarán este tipo de constantes, ya que se emplearán los sistemas internacional y británico, donde no son necesarias. En la Tabla 1.2 se enumeran algunas de las variables secundarias más importantes en Mecánica de Fluidos, expresando sus dimensiones en función de las cuatro primarias. Una lista más completa de factores de conversión puede encontrarse en el Apéndice C.

Tabla 1.1. Dimensiones primarias en los sistemas SI y británico.

Dimensión primaria

Unidad SI

Unidad británica

Factor de conversión

Masa {M} Longitud {L} Tiempo {T} Temperatura {Θ}

Kilogramo (kg) Metro (m) Segundo (s) Kelvin (K)

Slug Pie (ft) Segundo (s) Rankine (°R)

1 slug = 14,5939 kg 1 ft = 0,3048 m 1s=1s 1 K = 1,8 °R

6 Si los efectos electromagnéticos son importantes, se debe incluir una quinta, la corriente eléctrica {I}, cuya unidad en el SI es el amperio (A).

MECÁNICA DE FLUIDOS Tabla 1.2. Dimensiones secundarias en Mecánica de Fluidos.

Dimensión secundaria Área {L2} Volumen {L3} Velocidad {LT–1} Aceleración {LT–2} Presión o esfuerzo {ML–1T –2} Velocidad angular {T–1} Energía, calor, trabajo {ML2T –2} Potencia {ML2T–3} Densidad {ML–3} Viscosidad {ML–1T–1} Calor Específico {L2T–2Θ–1}

Unidad SI

Unidad británica

m2 m3 m/s m/s2 Pa = N/m2 s–1 J=N·m W = J/s kg/m3 kg/(m · s) m2/(s2 · K)

ft2 ft3 ft/s ft/s2 lbf/ft2 s–1 lf · lbf ft · lbf/s slugs/ft3 slugs/(ft · s) ft2/(s · °R)

Factor de conversión 1 m2 = 10,764 ft2 1 m3 = 35,315 ft3 1 ft/s = 0,3048 m/s 1 ft/s2 = 0,3048 m/s2 1 lbf/ft2 = 47,88 Pa 1 s–1 = 1 s–1 1 ft · lbf = 1,3558 J 1 ft · lbf/s = 1,3558 W 1 slug/ft3 = 515,4 kg/m3 1 slug/(ft · s) = 47,88 kg/(m · s) 1 m2/(s2 · K) = 5,980 ft2/(s · °R)

EJEMPLO 1.1 Un cuerpo pesa 1000 lbf en el campo gravitatorio terrestre con g = 32,174 ft/s2 · (a) ¿Cuál es su masa en kilogramos? (b) ¿Cuál será su peso en newtones en el campo gravitatorio lunar con gluna = 1,62 ft/s2? (c) ¿Cuál será su aceleración si se le aplica una fuerza de 400 lbf en la luna y en la tierra? Solución Apartado (a) La Ecuación (1.2) dice que F = peso si a = gtierra: F = W = mg = 1000 lbf = (m) (32,174 ft/s2) o

1000 lbf = (31,08 slugs)(14,5939 kg/slug) = 453,6 kg 32,174 ft/s 2

Resp. (a)

Comentario. El cambio de 31,08 slugs a 453,6 kg muestra la utilidad del factor de conversión 14,5939 kg/slug. Apartado (b) La masa del cuerpo sigue siendo la misma en la luna. La Ecuación (1.2) nos permite calcular el peso correspondiente F = Wluna = mgluna = (453,6 kg)(1,62 m/s2) = 735 N

Resp. (b)

Apartado (c) Este apartado no está relacionado con el peso, sino con la aplicación directa de la segunda ley de Newton F = 400 lbf = ma = (31,08 slugs)(a) o

400 lbf = 12, 87 ft/s 2 = 3, 92 m/s 2 31,08 slugs

Resp. (c)

Comentario. La aceleración obtenida sería la misma en la luna, en la tierra o en cualquier otra parte.

Muchos datos en artículos y trabajos aparecen con unidades arcaicas o inconvenientes, útiles sólo para alguna industria, especialidad o país. El ingeniero debe convertir estos datos al SI o al sistema británico antes de usarlos. Esto requiere la aplicación sistemática de factores de conversión, como en el ejemplo siguiente.

INTRODUCCIÓN

EJEMPLO 1.2 La industria relacionada con la medida de la viscosidad [27, 36] continúa usando el sistema de unidades cgs, porque los valores de la viscosidad expresados en centímetros y gramos resultan más manejables para muchos fluidos. La unidad de viscosidad absoluta (µ) en el sistema cgs es el poise, 1 poise = 1 g/(cm · s), nombre tomado de J. L. M. Poiseuille, médico francés que llevó a cabo experimentos pioneros en 1840 sobre flujo de agua en conductos. La unidad de la viscosidad cinemática (ν) es el stokes, nombre tomado de G. G. Stokes, un físico inglés que en 1845 colaboró en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales básicas que gobiernan la cantidad de movimiento de los fluidos; 1 stokes = 1 cm2/s. La viscosidad del agua a 20 °C es alrededor de µ 5 0,01 poises y también ν 5 0,01 stokes. Exprese estos valores en (a) el SI y (b) el sistema británico. Solución Apartado (a) • Procedimiento. Cambiamos de forma sistemática gramos a kg o slugs y centímetros a metros o pies. • Valores de las propiedades. Dados µ = 0,01 g/(cm · s) y ν = 0,01 cm2/s. • Solución del apartado (a). Para convertir a unidades SI,

µ = 0, 01 i = 0, 01

g g(1 kg/1000 g) kg = 0,01 = 0,001 cm u s cm(0,01 m/cm)s m us

cm 2 cm 2 (0, 01 m/cm) 2 m2 = 0,01 = 0,00001 s s s

Resp. (a)

Apartado (b) • Para convertir al sistema británico,

µ = 0, 01

g g(1 kg/1000 g)(1 slug/14,5939 kg) slug = 0,01 = 0,0000209 cm u s (0,01 m/cm)(1 ft/0,3048 m)s ft u s

i = 0, 01

cm 2 cm 2 (0, 01 m/cm)2 (1 ft/0,3048 m)2 ft 2 = 0,01 = 0, 0000108 s s s

Resp. (b)

• Comentario. El resultado (b) se podría haber obtenido directamente del (a) dividiendo éste por el factor de conversión 47,88 dado en la Tabla 1.2. En el Apéndice C se dan más factores de conversión entre unidades SI y del sistema británico.

Insistimos en el consejo: si aparecen datos con unidades no usuales se deben convertir al SI o al sistema británico, porque (1) es más profesional y (2) las ecuaciones teóricas de la Mecánica de Fluidos son dimensionalmente consistentes y no requieren factores de conversión cuando se usan los sistemas citados, como muestra el ejemplo siguiente. EJEMPLO 1.3 Una de las ecuaciones teóricas más útiles es la que relaciona la presión, la velocidad y la altura en el flujo estacionario de un fluido incompresible no viscoso con transferencia de calor despreciable,7 llamada ecuación de Bernoulli, por Daniel Bernoulli, que publicó un libro de hidrodinámica en 1738: p0 = p + 12 ρV2 + ρgZ donde p0 = presión de remanso p = presión en el fluido V = velocidad 7

Este conjunto de hipótesis se estudiará con detalle en el Capítulo 3.

(1)

MECÁNICA DE FLUIDOS

ρ = densidad Z = altura g = aceleración de la gravedad (a) Demuestre que la Ecuación (1) satisface el principio de hom*ogeneidad dimensional, que establece que todos los términos aditivos en una ecuación física deben tener las mismas dimensiones. (b) Demuestre que en el SI las unidades son consistentes sin necesidad de factores de conversión. (c) Repita el apartado (b) para el sistema británico. Solución Apartado (a) Podemos expresar la Ecuación (1) dimensionalmente, usando llaves para representar las dimensiones de cada término: {ML–1T–2} = {ML–1T–2} + {ML–3}{L2T–2} + {ML–3}{LT–2}{L} = {ML–1T–2} para todos los términos

Resp. (a)

Apartado (b) Poniendo las unidades del SI para cada cantidad, tomadas de la Tabla 1.2: {N/m2} = {N/m2} + {kg/m3}{m2/s2} + {kg/m3}{m/s2}{m} = {N/m2} + {kg/(m · s2)} El segundo miembro parece complicado, pero no lo es si se recuerda, por medio de la Ecuación (1.3), que 1 kg = 1 (N · s2)/m. {kg/(m u s 2 )} =

{N u s 2 /m} = {N/m 2 } {m u s 2}

Resp. (b)

De esta forma todos los términos de la ecuación de Bernoulli tienen unidades de pascales, o newtones por metro cuadrado, al utilizar el SI. No se necesitan factores de conversión, lo cual es cierto para todas las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos. Apartado (c) Introduciendo las unidades del sistema británico, tenemos {lbf/ft2} = {lbf/ft2} + {slugs/ft3}{ft2/s2} + {slugs/ft3}{ft/s2}{ft} = {lbf/ft2} + {slugs/(ft · s2)} Pero, por medio de la Ecuación (1.3), 1 slug = 1 lbf · s2/ft, de modo que {slugs/(ft u s 2 )} =

{lbf u s 2 /ft} = {lbf/ft 2} {ft u s 2}

Resp. (c)

Todos los términos tienen unidades de libra-fuerza por pie cuadrado. Tampoco en el sistema británico se necesitan factores de conversión.

Aún persiste en los países anglosajones la tendencia a usar libras-fuerza por pulgada cuadrada como unidad de presión, porque los números son más manejables. Por ejemplo, la presión atmosférica estándar es 101.300 Pa = 14,7 lbf/in2 = 2116 lbf/ft2. El pascal es una unidad muy pequeña, pues un newton es menos de 1 de lbf y un metro cuadrado un área muy grande. A pesar de lo cual el pascal va ganando aceptación; por 4 ejemplo, los manuales de reparación de los automóviles americanos especifican ya las medidas de presión es pascales.

Unidades consistentes Las ecuaciones de la mecánica (de fluidos) no sólo deben ser dimensionalmente hom*ogéneas, sino que además se deben usar unidades consistentes; esto es, todos los términos aditivos en una ecuación física deben

INTRODUCCIÓN

tener las mismas unidades. Esto no supone ningún problema si se usa el SI o el sistema británico, como en el Ejemplo 1.3, pero puede resultar fatal para quienes traten de mezclar unidades inglesas coloquiales. Por ejemplo, en el Capítulo 9 usaremos a menudo la hipótesis de flujo gaseoso compresible, adiabático y estacionario: h + 12V2 = constante donde h es la entalpía del fluido y V2/2 es su energía cinética por unidad de masa. Las tablas termodinámicas coloquiales podrían expresar h en unidades térmicas inglesas por unidad de masa (Btu/lb), mientras que V suele expresarse en ft/s. Es totalmente erróneo sumar Btu/lb y ft2/s2. En este caso, la unidad adecuada para la entalpía es ft · lbf/slug, que es idéntica a ft2/s2. El factor de conversión es 1 Btu/lb 5 25.040 ft2/s2 = 25.040 ft · lbf/slug.

Ecuaciones hom*ogéneas frente a ecuaciones dimensionalmente inconsistentes Todas las ecuaciones teóricas de la mecánica (y de otras ramas de la física) son dimensionalmente hom*ogéneas; esto es, todos los términos aditivos de la ecuación tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, la ecuación de Bernoulli (1) del Ejemplo 1.3 es dimensionalmente hom*ogénea: todos los términos tienen dimensiones de presión o esfuerzo {F/L2}. Otro ejemplo es la ecuación de la física para un cuerpo en caída libre cuando se desprecia la resistencia aerodinámica: S = S0 + V0t + 12gt2 donde S0 es la posición inicial, V0 es la velocidad inicial y g es la aceleración de la gravedad. Cada término en esta ecuación tiene dimensiones de longitud {L}. El factor 12, que proviene de la integración, es simplemente un número (adimensional), {1}. El exponente 2 también es adimensional. Sin embargo, se debe advertir al lector que muchas fórmulas empíricas usadas en ingeniería, principalmente las obtenidas de correlaciones de datos, no son dimensionalmente consistentes. Sus unidades no pueden reconciliarse de forma sencilla, y algunos términos pueden contener variables ocultas. Un ejemplo es la fórmula que utilizan los fabricantes de válvulas de tuberías para calcular el caudal Q (m3/s) a través de una válvula parcialmente abierta: 6p Q = CV £ ¥ ¤ S¦

1/ 2

donde ∆p es la caída de presiones a través de la válvula y S es la densidad relativa del líquido (el cociente entre su densidad y la del agua). La cantidad CV es el coeficiente de flujo de la válvula, que los fabricantes tabulan en sus folletos. Dado que S es adimensional {1}, la fórmula resulta totalmente inconsistente, pues un lado tiene dimensiones de caudal {L3/T} y el otro de raíz cuadrada de salto de presiones {M1/2/L1/2T}. De aquí se deduce que CV debe tener dimensiones, de hecho bastante raras: {L7/2/M1/2}. La resolución de esta discrepancia no está clara, aunque en la literatura se observa que los valores de CV aumentan aproximadamente como el cuadrado del tamaño de la válvula. La presentación de datos experimentales en forma hom*ogénea es el objetivo del análisis dimensional (Capítulo 5). En dicho capítulo aprenderemos que una forma hom*ogénea de la relación para el caudal de la válvula es £ 6p ¥ Q = Cd Aapertura ² ´ ¤ l¦

1/ 2

donde ρ es la densidad del líquido y A el área de apertura de la válvula. El coeficiente de descarga Cd es adimensional y cambia muy poco con el tamaño de la válvula. De momento el lector debe creerse —hasta la discusión del Capítulo 5— que la última expresión constituye una forma mucho mejor de presentar los datos.

MECÁNICA DE FLUIDOS

Mientras tanto, debemos concluir que las ecuaciones dimensionalmente inconsistentes, a pesar de su abundancia en la ingeniería, pueden conducir a error y son imprecisas y hasta peligrosas, pues con frecuencia son usadas incorrectamente fuera de su rango de aplicabilidad.

Prefijos apropiados para potencias de 10 En ingeniería, los resultados suelen ser demasiado pequeños o demasiado grandes para las unidades habituales, con muchos ceros por un lado o el otro. Por ejemplo, escribir p = 114.000.000 Pa es largo y tedioso. Usando el prefijo «M» para decir 106, convertimos esto en un conciso p = 114 MPa (megapascales). Del mismo modo, t = 0,000000003 s es mucho más difícil de corregir que su equivalente t = 3 ns (nanosegundos). Tales prefijos son comunes y convenientes, tanto en el SI como en el sistema británico. En la Tabla 1.3 se da la lista completa. Tabla 1.3. Prefijos apropiados para unidades en ingeniería.

Factor multiplicativo

Prefijo

Símbolo

1012 109 106 103 102 10 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18

tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto

T G M k h da d c m µ n p f a

EJEMPLO 1.4 En 1890, Robert Manning, un ingeniero irlandés, propuso la siguiente fórmula empírica para la velocidad media V en el movimiento uniforme en canales abiertos (en el sistema británico de unidades): V=

1, 49 2 / 3 1 / 2 R S n

(1)

donde R = radio hidráulico del canal (Capítulos 6 y 10) S = pendiente del canal (tangente del ángulo de la base respecto a la horizontal) n = factor de rugosidad de Manning (Capítulo 10) y n es constante para cada condición de acabado superficial de las paredes y el fondo del canal. (a) ¿Es dimensionalmente consistente la fórmula de Manning? (b) La Ecuación (1) se considera válida en unidades del sistema británico tomando n como adimensional. Reescriba la ecuación en el SI. Solución • Consideraciones. La pendiente, por ser la tangente de un ángulo, es adimensional y aparece como {1} —es decir, no contiene M, L o T. • Apartado (a). Escribimos las dimensiones de cada término de la fórmula de Manning usando paréntesis {}: 1, 49 ¬ 2 / 3 1 / 2 ¨ L ¬ ¨1, 49 ¬{L2 / 3}{1} {V} = ¨© {R }{S } o © = © ªT ® ª n ® ª n ®

INTRODUCCIÓN

Esta fórmula no puede ser consistente a menos que {1,49/n} = {L1/3/T}. Si n es adimensional (como aparece siemResp. (a) pre en los libros), el valor numérico 1,49 debe tener unidades de {L1/3/T}. • Comentario (a). Esto puede ser trágico para un ingeniero que trabaje en un sistema de unidades diferente a menos que se dé cuenta de la discrepancia. De hecho, la fórmula de Manning, aunque es muy conocida, es inconsistente tanto dimensional como físicamente, no tiene en cuenta de modo correcto los efectos de la rugosidad del canal salvo para un rango muy estrecho de rugosidades y sólo es válida para el agua. Los efectos de la viscosidad y la densidad del agua están ocultos en el valor numérico 1,49. • Apartado (b). Del apartado anterior sabemos que el número 1,49 debe tener dimensiones, y por eso en el sistema británico debe ser 1,49 ft1/3/s. Utilizando el factor de conversión al SI para la longitud, tenemos (1,49 ft1/3/s)(0,3048 m/ft)1/3 = 1,00 m1/3/s Por tanto, la fórmula de Manning en el SI es: Unidades SI : V =

1, 0 2 / 3 1 / 2 R S n

Resp. (b)

con R en metros y V en metros por segundo. • Comentario (b). Realmente, estamos despistando al lector: Manning, usuario del sistema métrico, propuso la fórmula de esta manera; posteriormente fue pasada al sistema británico. Estas fórmulas dimensionalmente inconsistentes son peligrosas y deberían ser reanalizadas o aplicadas sólo en casos muy concretos.

1.5. PROPIEDADES DEL CAMPO DE VELOCIDADES En un flujo dado, la determinación experimental o teórica de las propiedades del fluido en función de la posición y del tiempo se considera la solución del problema. En casi todos los casos, el énfasis se hace sobre la distribución espacio-temporal de las propiedades fluidas. Raramente se siguen las trayectorias de partículas fluidas concretas.8 Este tratamiento de las propiedades como funciones continuas distingue la Mecánica de Fluidos de la de Sólidos, donde habitualmente el interés se centra más en las trayectorias de sistemas o partículas individuales.

Descripciones euleriana y lagrangiana Hay dos puntos de vista posibles para analizar los problemas de la mecánica. El primero, apropiado para la Mecánica de Fluidos, trata del campo de flujo y se denomina método descriptivo euleriano. En el método euleriano calculamos el campo de presiones p(x, y, z, t) del flujo, y no los cambios de presión p(t) que experimenta una partícula al moverse. El segundo método, que sigue a las partículas en su movimiento, se denomina descripción lagrangiana. Este método, muy apropiado en Mecánica de Sólidos, no será considerado en este libro. Sin embargo, los análisis numéricos de algunos flujos con límites muy marcados, como el movimiento de gotitas aisladas, se llevan a cabo mejor en coordenadas lagrangianas [1]. Las mediciones en Mecánica de Fluidos también están bien adaptadas al sistema euleriano. Por ejemplo, cuando se introduce una sonda de presión en un flujo experimental, la medición se produce en un punto fijo (x, y, z). Las medidas contribuyen por tanto a describir el campo de presiones euleriano p(x, y, z, t). Para simular una medida lagrangiana la sonda debería moverse aguas abajo con la velocidad del fluido; este tipo de mediciones se practican a veces en oceanografía, dejando a la deriva los aparatos de medición que son arrastrados por las corrientes dominantes. Un ejemplo ilustrativo de ambas descripciones puede ser el análisis del tráfico en una autopista. Seleccionemos un cierto tramo para estudio y determinación del tráfico. Obviamente, con el transcurso del 8 Un caso en que las trayectorias son importantes es el análisis de calidad del agua en lo que respecta a las partículas contaminantes.

MECÁNICA DE FLUIDOS

tiempo varios coches entrarán y saldrán del tramo, y la identidad de los mismos estará cambiando continuamente. El ingeniero de tráfico ignora la identidad de los coches y se concentra en su velocidad media, medida como función de la posición dentro del tramo y del tiempo, y también estudia el flujo o número de coches por hora que pasan por una cierta sección de la autovía. Este ingeniero realiza una descripción euleriana del tráfico. Otros investigadores, como la policía o los sociólogos, pueden estar interesados en la velocidad y trayectoria de determinados coches. Siguiendo a éstos realizan una descripción lagrangiana del tráfico.

El campo de velocidades La más importante de todas las propiedades del flujo es el campo de velocidades V(x, y, z, t). De hecho, determinar la velocidad es a menudo equivalente a resolver el problema, ya que otras propiedades se obtienen directamente de aquélla. El Capítulo 2 está dedicado al cálculo de la presión una vez conocido el campo de velocidades. Los libros que tratan sobre transferencia de calor (por ejemplo, Referencia 10) están especialmente dedicados a encontrar el campo de temperaturas a partir del de velocidades. En general, la velocidad es un vector, función de la posición y del tiempo, que tiene tres componentes escalares u, v y w: V(x, y, z, t) = iu(x, y, z, t) + jv(x, y, z, t) + kw(x, y, z, t)

(1.4)

El uso de u, v y w en lugar de Vx, Vy y Vz, más lógicas, se debe a una duradera tradición fluidodinámica. Como muestra el siguiente ejemplo, el vector aceleración también es importante en Mecánica de Fluidos.

EJEMPLO 1.5 Un fluido fluye a través de una sección convergente de un conducto, como muestra la Figura E1.5. Una sonda de velocidad inmersa en la sección (1) mide un valor estacionario u1 = 1 m/s, mientras que una sonda similar en la sección (2) detecta un valor estacionario u2 = 3 m/s. Estime la aceleración del fluido, si existiera, si ∆x = 10 cm. (1) (2)

E1.5

Solución El flujo es estacionario (no varía con el tiempo), pero claramente la velocidad de las partículas fluidas aumenta al pasar de (1) a (2). Éste es el concepto de aceleración convectiva (Sección 4.1). Podemos estimar la aceleración como el incremento de velocidad dividido por el incremento de tiempo ∆t = ∆x/umed:

ax 5

u2 < u1 incremento de velocidad (3, 0 m/s < 1,0 m/s) 5 = 5 40 m/s 2 1 incremento de tiempo 6x /[ 2 (u1 + u2 )] (0,1 m)/[ 12 (1, 0 m/s + 3, 0 m/s)]

Resp.

INTRODUCCIÓN

Una simple estimación indica por tanto que este flujo, aparentemente inocuo, sufre una aceleración de cuatro veces la aceleración de la gravedad. En el límite en que ∆x y ∆t se hacen muy pequeños, nuestra estimación se reduce a una derivada parcial que representa la aceleración convectiva en la dirección x: ax , convectiva = lím

6x A 0 6t A 0

,u £ 6x 6u ¥ =u ¤ 6t 6 x ¦ ,x

En un flujo tridimensional (Sección 4.1) existen nueve términos convectivos de este tipo.

1.6. PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DE UN FLUIDO Aunque el campo de velocidades V es la propiedad más importante del flujo, éste interactúa con las propiedades termodinámicas del fluido. A lo largo de la discusión precedente hemos introducido las tres más importantes: l. Presión p 2. Densidad ρ 3. Temperatura T Son los compañeros permanentes de la velocidad en el análisis de los flujos. Al entrar en juego el trabajo, el calor y el equilibrio energético aparecen otras cuatro propiedades termodinámicas (Capítulos 3 y 4): 4. 5. 6. 7.

Energía interna û Entalpía h = û + p/ρ Entropía s Calores específicos cp y cv

Por otro lado, los efectos de fricción y conducción de calor están gobernados por los denominados coeficientes de transporte: 8. Coeficiente de viscosidad µ 9. Conductividad térmica k Estas nueve magnitudes son auténticas propiedades termodinámicas, que se determinan por la condición termodinámica o estado del fluido. Por ejemplo, en una sustancia con una sola fase como oxígeno o agua, es suficiente conocer dos de las propiedades básicas independientes9, como presión y temperatura, para determinar las demás:

ρ = ρ (p, T) h = h(p, T) µ = µ(p, T)

(1.5)

y así para todas las magnitudes de la lista. Nótese que el volumen específico, tan importante en termodinámica, es omitido aquí en favor de su inverso, la densidad ρ. Recuérdese que las propiedades termodinámicas describen el estado del sistema, esto es, una porción de materia de identidad conocida que interactúa con su entorno. En la mayor parte de los casos este sistema será una partícula fluida y todas las propiedades serán funciones continuas en el campo fluido: ρ = ρ(x, y, z, t), etc. Recuérdese también que la termodinámica estudia normalmente sistemas estáticos, mientras que los fluidos se encuentran habitualmente en movimiento cambiando todas las propiedades constantemente. Las propiedades termodinámicas estáticas, ¿conservan su significado en un flujo que está técnicamente fuera del equilibrio? La respuesta es sí, desde un punto de vista estadístico. En gases a las presiones normales (y más aún en líquidos) tiene lugar un número enorme de colisiones o interacciones moleculares en dis9

La definición de propiedad básica independiente puede encontrarse en cualquier libro avanzado de termodinámica (N. del T.).

MECÁNICA DE FLUIDOS

tancias tan pequeñas como 1 µm, de modo que un fluido sujeto a cambios repentinos se ajusta casi inmediatamente al nuevo equilibrio. Suponemos, por tanto, que todas las propiedades termodinámicas indicadas anteriormente existen como funciones del punto en un flujo y siguen las leyes y relaciones de estado ordinarias del equilibrio termodinámico. Hay, por supuesto, efectos importantes de no equilibrio en reacciones químicas y nucleares en fluidos, pero no serán estudiados en este libro.

Presión La presión es el esfuerzo (de compresión) en un punto en un fluido en reposo (Figura 1.1). Después de la velocidad, la presión p es la variable más significativa en la dinámica de un fluido. Las diferencias o gradientes de presión son generalmente las responsables del flujo, especialmente cuando es en conductos. En flujos a baja velocidad, la magnitud real de la presión suele no ser importante, a menos que baje tanto como para provocar la formación de burbujas de vapor en los líquidos. Por conveniencia, a este tipo de problemas se le suele asignar un nivel de presión de 1 atm = 2116 lbf/ft2 = 101.300 Pa. Por el contrario, los flujos (compresibles) de gases a alta velocidad (Capítulo 9) sí que dependen del valor absoluto de la presión.

Temperatura La temperatura T está relacionada con el nivel de energía interna del fluido. Puede variar considerablemente durante el flujo compresible de un gas (Capítulo 9). A pesar del extenso uso que hacen los ingenieros de las escalas Celsius y Fahrenheit, muchas de las aplicaciones de este libro requieren la utilización de temperaturas absolutas (Kelvin o Rankine): °R = °F + 459,69 K = °C + 273,16 Si las diferencias de temperatura son fuertes, la transferencia de calor puede ser importante [10], si bien aquí nuestro interés se centra en la dinámica.

Densidad La densidad de un fluido, denominada ρ (rho griega minúscula), es su masa por unidad de volumen. La densidad varía mucho en los gases, aumentando casi de forma proporcional a la presión. La densidad de los líquidos en casi constante; la densidad del agua (alrededor de 1000 kg/m3) tan sólo se incrementa en un 1 por 100 cuando la presión se multiplica por un factor de 220. Por lo tanto, la mayoría de los líquidos se pueden considerar casi «incompresibles». En general, los líquidos son tres órdenes de magnitud más densos que los gases a presión atmosférica. El líquido más pesado es el mercurio, y el gas más ligero, el hidrógeno. Compare sus densidades a 20 °C y 1 atm: Mercurio: ρ = 13.580 kg/m3

Hidrógeno: ρ = 0,0838 kg/m3

¡Ambas difieren en un factor de 162.000! Así pues, los parámetros físicos pueden variar considerablemente entre los distintos líquidos y gases. Estas diferencias suelen resolverse mediante el uso del análisis dimensional (Capítulo 5). En las Tablas A.3 y A.4 (del Apéndice A) se dan las densidades de otros fluidos.

Peso específico El peso específico de un fluido es su peso por unidad de volumen. Al igual que una masa m tiene un peso W = mg, la densidad y el peso específico están relacionados por la gravedad: Peso específico ≡ ρg

(1.6)

INTRODUCCIÓN

Las unidades del peso específico son peso por unidad de volumen, en lbf/ft3 o N/m3. El valor estándar de la aceleración de la gravedad terrestre es g = 32,174 ft/s2 = 9,807 m/s2. Así, por ejemplo, el peso específico del aire y el agua a 20 °C y 1 atm son aproximadamente

ρaireg = (1,205 kg/m3)(9,807 m/s2) = 11,8 N/m3 = 0,0752 lbf/ft3 ρaguag = (998 kg/m3)(9,807 m/s2) = 9790 N/m3 = 62,4 lbf/ft3 El peso específico es muy útil en las aplicaciones de la presión hidrostática, que veremos en el Capítulo 2. En las Tablas A.3 y A.4 se dan los pesos específicos de otros fluidos.10

Densidad relativa La densidad relativa, denominada S, es la relación entre la densidad del fluido y la de un fluido estándar de referencia, típicamente el agua a 4 °C (para los líquidos) y el aire (para los gases): Sgas =

lgas laire

Slíquido =

lgas 1205 kg/m 3

l líquido lagua

(1.7)

l líquido 1000 kg/m 3

Por ejemplo, la densidad relativa del mercurio (Hg) es SHg = 13.580/1000 5 13,6. Para los ingenieros resulta más sencillo recordar estos valores que los valores numéricos exactos de la densidad de los distintos fluidos.

Energías potencial y cinética En termostática, la única energía asociada a una sustancia es la almacenada en el sistema por la actividad molecular y las fuerzas asociadas a los enlaces químicos. A ésta se le denomina energía interna û. En los flujos, a esta energía se le deben añadir dos términos más, procedentes de la mecánica newtoniana: la energía potencial y la energía cinética. La energía potencial es el trabajo necesario para mover al sistema de masa m desde el origen hasta una posición r = ix + jy + kz venciendo al campo gravitatorio g. Su valor es –mg · r, o –g · r por unidad de masa. La energía cinética es el trabajo que se requiere para cambiar la velocidad desde cero hasta V. Su valor es 12mV2 o 12V 2 por unidad de masa. Por todo ello, la energía interna por unidad de masa e se escribe convencionalmente en Mecánica de Fluidos como suma de tres términos: e = û + 12V2 + (–g · r)

(1.8)

En este libro definiremos siempre z positiva hacia arriba; de modo que g = –gk y g · r = –gz. Entonces la Ecuación (1.8) se escribe e = û + 12V 2 + gz

(1.9)

La energía interna molecular û es función de T y de p para una sustancia pura con una sola fase, mientras que las energías potencial y cinética son propiedades cinemáticas.

Ecuaciones de estado para gases Las propiedades termodinámicas se pueden relacionar entre sí, tanto teórica como experimentalmente, por medio de relaciones o ecuaciones de estado que varían de una sustancia a otra. Como se mencionó ante10 En la literatura anglosajona el peso específico suele denotarse con la letra γ (gamma griega minúscula) y la relación de calores específicos con la letra k. Sin embargo, siguiendo una tradición muy extendida en Mecánica de Fluidos, utilizaremos aquí el símbolo γ para la relación de calores específicos y el producto ρg para denotar el peso específico (N. del T.).

MECÁNICA DE FLUIDOS

riormente, nos referiremos en este libro sólo a sustancias puras con una fase, por ejemplo, agua en su fase líquida. El segundo fluido más común, el aire, es una mezcla de gases, pero como las proporciones de la mezcla permanecen casi constantes entre los 160 y 2200 K, en este rango se puede considerar como una sustancia pura. Todos los gases a altas temperaturas y bajas presiones (relativas a su punto crítico) siguen muy bien la ley de los gases perfectos p = ρRT

R = cp – cv = constante del gas

(1.10)

donde los calores específicos cp y cv se definen en las Ecuaciones (1.14) y (1.15). Como la Ecuación (1.10) es dimensionalmente consistente, R tiene las mismas dimensiones que un calor específico, {L2T–2Θ–1}, o velocidad al cuadrado dividida por grado (Kelvin o Rankine). Cada gas tiene su propia constante R, igual a una constante universal Λ dividida por el peso molecular Rgas =

R Mgas

(1.11)

donde Λ = 49.700 ft · lbf/(slugmol · °R) = 8314 kJ/(kmol · K). La mayoría de las aplicaciones de este libro son para aire, M = 28,97/mol: Raire =

49.700 ft u lbf/(slugmol u °R) ft u lbf ft 2 m2 = 1716 = 1716 2 = 287 2 28, 97 /mol slug u °R s u °R s uK

(1.12)

La presión atmosférica estándar es 2116 lbf/ft2 = 2116 slug/(ft · s2) y la temperatura estándar es 288 K = 60 °F = 520 °R. Por tanto, la densidad estándar del aire es

laire =

2116 slug/(ft u s 2 ) = 0, 00237 slug/ft 2 = 1, 22 kg/m 3 [1716 ft 2 /(s2 u °R )](520°R )

(1.13)

Este valor es el adecuado para los problemas. Para otros gases consúltese la Tabla A.4. En termodinámica se demuestra que la Ecuación (1.10) requiere que la energía interna molecular û de un gas perfecto varíe sólo con la temperatura: û = û(T). Por tanto, el calor específico cv también variará sólo con la temperatura: duˆ £ ,uˆ ¥ cv = ² ´ = = cv (T ) ¤ ,T ¦ l dT duˆ = cv (T )dT

(1.14)

Del mismo modo la entalpía h y el calor específico cp de un gas perfecto también dependen exclusivamente de la temperatura: h = uˆ +

p = uˆ + RT = h(T ) l

dh £ ,h ¥ cp = ² ´ = = c p (T ) ¤ ,T ¦ p dT dh = c p (T )dT

(1.15)

INTRODUCCIÓN

La relación de calores específicos de un gas perfecto es un parámetro adimensional muy importante en el análisis de los flujos compresibles (Capítulo 9):

a =

cp cv

= a (T ) * 1

(1.16)

Como primera aproximación, para los flujos de aire se considera normalmente que cp, cv y γ son constantes:

a aire 5 1, 4 cv =

R 5 4293 ft 2 /(s 2 u °R ) = 718 m 2 /(s 2 u K ) a Sc

y(x)

Fr < 1

Fr > 1 Fr > 1

F–1

y(0)

F–2 F–3

yn = yc (b)

Fr < 1 C–1

Crítica S 0 = Sc

Fr > 1 C–3

yn yc (c)

Suave S0 < Sc

Fr < 1 S–1 Fr< 1 S–2 Fr > 1 S–3

(d)

Horizontal S0 = 0 yn = ∞

Fr < 1 Fr > 1

Fr < 1 (e)

Adversa S0 < 0 yn = imaginario

H–2

H–3

A–2 A–3

Fr > 1

Figura 10.14. Movimiento gradualmente variado para los cinco tipos de pendientes de un canal, mostrando las 12 soluciones básicas posibles.

FLUJO EN CANALES ABIERTOS

697

Solución numérica La ecuación básica para un movimiento gradualmente variado, Ecuación (10.49), es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que puede resolverse fácilmente de forma numérica. Para un caudal Q constante dado, podemos escribirla en la forma dy S0 < n 2 Q 2 /(_ 2 A2 Rh4 / 3 ) = 1 < Q 2 b0 /( gA3 ) dx

(10.51)

sujeta a la condición inicial y = y0 en x = x0. Se supone que la pendiente de la solera S0(x) y los parámetros geométricos que caracterizan la sección transversal (b0, P, A) son conocidos a lo largo del canal. Resolviendo la Ecuación (10.51) mediante cualquier método numérico estándar podemos obtener lel calado local del agua y(x). El autor utiliza para ello una hoja de cálculo Excel. El paso espacial ∆x conviene seleccionarlo de modo que las variaciones ∆y sean menores que, por ejemplo, el 1 por 100. La solución en general se comporta bien excepto cuando los parámetros del canal presentan discontinuidades en sus valores. Obsérvese que cuando la solución se aproxima al calado crítico yc, el denominador de la Ecuación (10.51) se aproxima a cero, con lo que se requieren pasos ∆x muy pequeños. Desde un punto de vista físico resulta conveniente saber qué tipo de solución estamos buscando (S-1, F-2, etc.) antes de empezar los cálculos, aunque desde un punto de vista matemático no es necesario saberlo. EJEMPLO 10.9 Utilicemos los datos del Ejemplo 10.5 para calcular una parte de la forma del perfil. Dado un canal ancho con n = 0,022, S0 = 0,0048 y q = 50 ft3/(s · ft), si y0 = 3 ft en x = 0, ¿a qué distancia x = L a lo largo del canal habrá aumentado al calado hasta yL = 4 ft? ¿Está situado el calado de 4 ft aguas arriba o aguas abajo en la Figura E10.9a?

y0 = 3 ft

y = c 4,27 ft y = n 4,14 ft

y L = 4 ft S0 = 0,0048

L=? x=0

x=L

E10.9a

Solución En el Ejemplo 10.5 obtuvimos yc = 4,27 ft. Dado que nuestro calado inicial y = 3 ft es menor que yc, sabemos que la corriente va en régimen rápido. El calado normal para la pendiente S0 dada se determina haciendo q = 50 ft3/(s · ft) en la fórmula de Chézy (10.19) con Rh = yn: q=

de donde se obtiene:

_ 1, 486 ARh2 / 3S01 / 2 = [ yn (1 ft)]yn2 / 3 (0, 0048)1 / 2 = 50 ft 3 /(s u ft) n 0, 022 yn 5 4,14 ft

Tanto y(0) = 3 ft como y(L) = 4 ft son menores que yn, que a su vez es menor que yc, luego debemos estar en el caso F-3, como en la Figura 10.14a. La Ecuación (10.51) para un canal ancho se reduce a

698

MECÁNICA DE FLUIDOS

dy S0 < n 2 q 2 /(_ 2 y10 / 3 ) = dx 1 < q 2 /( gy 3 ) 5

0, 0048 < (0, 022)2 (50)2 /(2, 208 y10 / 3 ) 1 < (50)2 /(32, 2 y3 )

con y(0) = 3 ft

La pendiente inicial es y′(0) 5 0,00494, y un paso de ∆x = 5 ft conllevaría una variación ∆y 5 (0,00494)(5 ft) 5 0,025 ft, menor del 1 por 100. Por tanto, integramos numéricamente con ∆x = 5 ft para determinar dónde se alcanza el calado y = 4 ft: x, ft

100

150

200

230

y, ft

3,00

3,25

3,48

3,70

3,90

4,00

El calado del agua, que sigue correspondiendo a régimen rápido, alcanza y = 4 ft en x 5 230 ft aguas abajo

Resp.

Comprobamos con la Figura 10.14a que el calado del agua en el caso F-3 aumenta aguas abajo. La línea más intensa de la Figura E10.9b representa la solución y(x) calculada. 5

4 S o l u ció n

Presente ejemplo

te ejemplo del presen

3 y 2

Otras soluciones del tipo F–3 0

100

150

200

250 230 ft

E10.9b

Con un pequeño esfuerzo adicional podemos estudiar la familia entera de soluciones tipo F-3 para este problema. La Figura E10.8b también muestra qué sucede si el calado inicial varía entre 0,5 y 3,5 ft con incrementos de 0,5 ft. Todas las soluciones tipo F-3 crecen suavemente y alcanzan asintóticamente la condición de movimiento uniforme y = yn = 4,14 ft.

Solución aproximada para canales irregulares El procedimiento numérico de la Ecuación (10.51) es bueno cuando tenemos expresiones analíticas para las variaciones de las propiedades del canal A(x), S0(x), n(x), b0(x) y Rh(x). Pero en canales naturales las secciones transversales suelen ser irregulares y los datos disponibles pueden ser escasos y no equiespaciados. Para esos casos, los ingenieros civiles utilizan un método aproximado para estimar los cambios graduales del flujo. Un esquema numérico simple pero efectivo es escribir la Ecuación (10.46) en forma de diferencias finitas entre dos calados y e y + ∆y: 6x 5

E( y + 6y) < E( y) ( S0 < S ) med

donde E = y +

V2 2g

(10.52)

FLUJO EN CANALES ABIERTOS

699

Esto permite estimar valores medios para la velocidad, pendiente y radio hidráulico entre las dos secciones. Por ejemplo, n2V 2 1 1 Vmed 5 [V ( y) + V ( y + 6y)]; Rh, med 5 [ Rh ( y) + Rh ( y + 6y)]; Smed 5 2 4med 3 _ Rh,/med 2 2

De nuevo el cálculo puede proceder tanto aguas arriba como aguas abajo, utilizando valores pequeños de ∆y. En la Referencia 2, Capítulo 10, se dan más detalles sobre este tipo de cálculos.

EJEMPLO 10.10 Repita el Ejemplo 10.9 utilizando el método aproximado de la Ecuación (10.52) con un incremento ∆y = 0,25 ft. Determine la distancia necesaria para que y pase de 3 ft a 4 ft. Solución Recordemos del Ejemplo 10.9 que n = 0,022, S0 = 0,0048 y q = 50 ft3/(s · ft). Obsérvese que Rh = y para un canal ancho. Confeccionamos una tabla con y variando desde 3,0 hasta 4,0 ft en incrementos de 0,25 ft, y calculamos V = q/y, E = y + V2/(2g) y Smed = [n2V2/(2,208y4/3)]med: y, ft

V (ft/s) = 50/y

E = y + V2/(2g)

Smed

∆x = ∆E/(S0 – S)med

x = -∆x

3,0 3,25 3,5 3,75 4,0

16,67 15,38 14,29 13,33 12,50 ft/s

7,313 6,925 6,669 6,511 6,426 ft

0,01407 0,01078 0,00842 0,00669 0,00539

— 0,01243 0,00960 0,00756 0,00604

— 51 53 57 69 ft

0 51 104 161 230 ft

Comentario. La precisión es excelente, con el mismo resultado x = 230 ft que se obtuvo en el Ejemplo 10.9 mediante integración numérica con una hoja de Excel. Esto se debe principalmente a la regularidad y a la variación suave de las propiedades del canal. Si el canal fuera más irregular y los datos no estuvieran equiespaciados la precisión sería peor.

Algunas corrientes compuestas ilustrativas Las soluciones en la Figura 10.14 son un tanto simplistas, pues presuponen una pendiente constante de la solera. En la práctica, las pendientes de los canales pueden variar bastante, S0 = S0(x), y las soluciones pueden incluir varios regímenes distintos. La variación de otros parámetros del canal, como A(x), b0(x) y n(x), pueden dar lugar a interesantes soluciones compuestas. La Figura 10.15 muestra algunos ejemplos.6 La Figura 10.15a muestra la transición de una pendiente suave a una pendiente fuerte en un canal de anchura constante. La solución inicial del tipo S-2 debe pasar a ser del tipo F-2 aguas abajo en la pendiente fuerte. La única forma física de que esto ocurra es que la curva solución atraviese el calado crítico, tal como se muestra. El punto crítico es singular desde un punto de vista matemático [2, Sección 9.6] y la corriente cerca de ese punto varía de forma rápida, no lenta. La aceleración de la corriente desde el régimen lento hasta el régimen rápido es similar a una tobera convergente-divergente en dinámica de gases. La Figura 10.15a no admite otras soluciones. Por ejemplo, la solución aguas arriba no puede ser del tipo F-1, ya que el salto en la pendiente daría lugar a una solución tipo P-1 que no tendería a un movimiento uniforme sobre la pendiente fuerte. La Figura 10.15b muestra una pendiente suave que de repente pasa a ser aún más suave. La corriente incidente se supone uniforme y la presencia del quiebro en la pendiente se «siente» aguas arriba. El calado del 6

El autor está en deuda con el Profesor Bruce Larock por aclararle estas soluciones compuestas.

700

MECÁNICA DE FLUIDOS

S–2

yn1 Movimiento en régimen crítico

S–2 yc yn2

Suave (a) Fuerte

yn1 yc

S–1

Movimiento uniforme yn2 yc

Suave (b) Más suave

yn1

Movimiento uniforme yc yn2

F–3

Fuerte (c)

Menos fuerte

yc Movimiento uniforme

F–1 yn1

Movimiento uniforme

Resalto

yn2, alto yn2, bajo yc

S–3 Fuerte (d) Suave yn yc

(e)

S–2

Movimiento en régimen crítico

Cascada libre

Figura 10.15. Algunos ejemplos de soluciones compuestas con transiciones entre diferentes tipos de soluciones.

agua sigue una curva del tipo S-1 que se acopla perfectamente en el punto de quiebro con un movimiento uniforme con un nuevo calado normal yn2 menor que el original. La Figura 10.15c muestra una pendiente fuerte que se convierte bruscamente en una pendiente menos fuerte. Obsérvese que para ambas pendientes yn < yc. Como la corriente incidente va en régimen rápido (V > Vc), ésta no «siente» con antelación el quiebro en la pendiente. Por tanto, la solución del tipo F-3 sólo

FLUJO EN CANALES ABIERTOS

701

aparece a partir del quiebro, y evoluciona suavemente hasta convertirse en un movimiento uniforme con un nuevo calado normal yn2 mayor que el original. La Figura 10.15d muestra una pendiente fuerte que bruscamente pasa a ser suave. Se pueden dar varios casos. Los dos casos mostrados dependen del valor relativo de la pendiente suave. Si el calado aguas abajo yn2 es pequeño, aparecerá una solución del tipo S-3 a partir del quiebro en la pendiente, que irá evolucionando hasta que el movimiento local en régimen rápido sea capaz de formar un resalto hidráulico para alcanzar un nuevo calado normal. A medida que yn2 aumenta, el resalto hidráulico se irá formando antes, hasta que para el caso «alto» de la figura el resalto se forme en el tramo fuerte, seguido de una solución del tipo F-1 que se transformará en un movimiento uniforme de calado normal yn2 justo a la altura del quiebro. La Figura 10.15e muestra una cascada con una pendiente suave. Ésta actúa de sección de control para el flujo aguas arriba, que forma una solución del tipo S-2 y se acelera hasta condiciones críticas cerca de la cascada. El chorro de la cascada va en régimen rápido. La cascada «controla» los calados del agua aguas arriba y puede usarse como condición inicial para el cálculo de y(x). Éste es el tipo de flujo que aparece sobre un vertedero o una cascada natural (Sección 10.7). Los ejemplos en la Figura 10.15 ponen de manifiesto que las variaciones de las condiciones de un flujo en un canal abierto pueden dar lugar a configuraciones muy complejas. En la Referencia 2, págs. 229233, pueden encontrarse muchos más ejemplos de configuraciones de soluciones compuestas.

10.7. CONTROL Y MEDIDA DE CAUDALES MEDIANTE VERTEDEROS Un vertedero, como por ejemplo una presa ordinaria, es una obstrucción en la solera que debe ser sobrepasada por la corriente. Para ciertas geometrías sencillas, el caudal Q se correlaciona con la gravedad g y con la altura H que, medida sobre el vertedero, tiene el agua aguas arriba (véase Figura 10.16). Por ello un vertedero es un medidor, elemental pero efectivo, del caudal en un canal abierto. En el Problema P5.32 utilizamos un vertedero como ejemplo de aplicación del análisis dimensional.

1 ≈ H 3

H 2

Lámina Zona de aireación

Vertedero (a)

H yc V1

Vertedero L

(b)

Figura 10.16. Flujo sobre un vertedero infinitamente ancho y bien aireado: (a) vertedero de pared delgada; (b) vertedero de pared gruesa.

702

MECÁNICA DE FLUIDOS

La Figura 10.16 muestra dos vertederos corrientes, de pared delgada y de pared gruesa, que consideraremos muy anchos en la dirección perpendicular al papel. En ambos casos, la corriente aguas arriba va en régimen lento, se vuelve crítica cerca de la cresta del vertedero y rebosa en forma de una lámina en régimen rápido. En ambos casos, el caudal q por unidad de anchura es proporcional a g1/2H3/2, diferenciándose únicamente en la constante de proporcionalidad. La lámina de agua tras el vertedero de pared delgada debe estar ventilada y descargar a la atmósfera; esto es, debe separarse de la pared del vertedero y caer libremente. La correlación cambia (haciéndose más complicada) si la lámina de líquido queda adherida a la pared del vertedero aguas abajo. (El rebosadero de la Figura 10.11 es un tipo de vertedero no aireado.) En el texto de Ackers et al. [23] se puede encontrar un tratado muy completo sobre vertederos, incluyendo otros diseños tales como el vertedero poligonal tipo «Crump» y varios vertederos contraídos. Véase el Problema P10.122.

Análisis de vertederos de pared delgada Se puede analizar el flujo en vertederos empleando la teoría potencial no viscosa con una superficie libre desconocida (a calcular), como en la Figura P8.71. Sin embargo, aquí nos limitaremos a usar la teoría de flujo unidimensional combinada con el análisis dimensional para determinar unas correlaciones apropiadas para el caudal sobre el vertedero. Un primer enfoque teórico del problema se debe a J. Weisbach en 1855. La altura de velocidad en cualquier punto 2 sobre la cresta del vertedero se supone igual a la altura total aguas arriba; en otras palabras, se utiliza la ecuación de Bernoulli sin pérdidas: V22 V2 +H 0,33 y H/Y > 0,56, Cd aumenta hasta un 10 por 100 con cada uno de los parámetros, requiriéndose de complicados ábacos para el coeficiente de descarga [19, Cap. 6].

EJEMPLO 10.11 Un vertedero en un canal horizontal tiene 1 m de alto y 4 m de ancho. El calado del agua aguas arriba es de 1,6 m. Estime el caudal si el vertedero es (a) de pared delgada y (b) de cemento no pulido, pared gruesa, con borde delantero redondeado y una ancha cresta de 1,2 m de longitud. Desprecie V12/(2g). Solución Apartado (a) Nos han proporcionado Y = 1 m y H + Y 5 1,6 m, por tanto H 5 0,6 m. Como H b, suponemos que el vertedero es «infinitamente ancho». Para el caso de pared delgada es aplicable la Ecuación (10.56): Cd 5 0, 564 + 0, 0846

0, 6 m 5 0, 615 1m

de modo que el caudal viene dado por la correlación básica (10.55): Q = Cd b gH 3 / 2 = (0, 615)( 4 m) (9,81 m/s2 )(0, 6 m)3/2 5 3, 58 m 3 /s

Resp. (a)

Comprobamos que H/Y = 0,6 < 2,0 para asegurarnos de la validez de la Ecuación (10.56). De la ecuación de la continuidad, V1 = Q/(by1) = 3,58/[(4,0)(1,6)] = 0,56 m/s, proporcionando un número de Reynolds V1H/v 5 3,4 × 105. Apartado (b) La Ecuación (10.57) es válida para un vertedero de pared gruesa y borde delantero redondeado. De la Tabla 10.1 obtenemos que ε 5 2,4 mm para una superficie de cemento no pulido. Por tanto, el espesor de desplazamiento vale

b* £ 0, 0024 m ¥ 5 0, 001 + 0, 2 ¡ / L = 0, 001 + 0, 2² ´ ¤ 1,2 m ¦ L

1/ 2

5 0, 00994

El coeficiente de descarga dado por la Ecuación (10.57) es 0, 00994 ¥ £ Cd 5 0, 544²1 < ´ ¤ 0, 6 m/1,2 m ¦

3/ 2

5 0, 528

Por tanto, el caudal vale Q = Cd b gH 3 / 2 = 0, 528( 4 m) (9,81 m/s2 )(0, 6 m)3/2 5 3, 07 m 3 /s

Resp. (b)

FLUJO EN CANALES ABIERTOS

705

Compruebe que H/L = 0,5 < 0,7. El número de Reynolds de la corriente incidente vale V1H/v 5 2,9 × 105, ligeramente por debajo del límite recomendado para la Ecuación (10.57). Como V1 5 0,5 m/s, V12/(2g) 5 0,012 m, con lo que suponer que la altura total es igual a 0,6 m conlleva un error del 2 por 100. Si quisiéramos, podríamos corregir esto en la altura de velocidad aguas arriba.

Otros diseños de vertederos de pared delgada A menudo se utilizan vertederos para medir y controlar el caudal en canales artificiales. Los dos tipos más comunes son el vertedero rectangular y el vertedero en V, como se muestra en la Tabla 10.2. Todos ellos deben estar bien ventilados y no anegados. La Tabla 10.2a muestra un vertedero rectangular sin contracciones laterales, que tendrá efectos de capa límite en las paredes laterales, pero ningún tipo de contracción de la lámina. Como se trata de un diseño de pared delgada, la cresta es afilada y por tanto la Ecuación (10.56) debería proporcionar una precisión aceptable, como se muestra en la tabla. Como el rebose se extiende a lo ancho de todo el canal, puede ser necesaria una aireación artificial, por ejemplo mediante agujeros en las paredes del canal. La Tabla 10.2b muestra un vertedero rectangular con contracciones laterales, b < L, que hará que los lados de la lámina se contraigan y se reduzca por tanto el caudal. Una contracción adecuada [23, 24] consiste en reducir la anchura efectiva del vertedero en 0,1H, como se muestra en la tabla. Parece ser que este tipo de vertederos es bastante sensible a fenómenos pequeños tales como el espesor de la pared y el crecimien-

Tabla 10.2. Medidores de caudal basados en vertederos de pared delgada.

Vertedero de pared delgada

H Lámina

Correlación del caudal

H Q 5 £ 0, 564 + 0, 0846 ¥ bg1 / 2 H 3 / 2 ¤ Y¦

Y b

(a) Rectangular sin contracciones laterales.

H b

Q 5 0, 581(b < 0,1H )g1 / 2 H 3 / 2

Lámina

H < 0, 5Y

Y L > 2b

(b) Rectangular con contracciones laterales.

Lámina Y

e Q 5 0, 44 tg g1 / 2 H 5 / 2 2

20° < e < 100°

706

MECÁNICA DE FLUIDOS

to de las capas límite en las paredes del canal. No se recomienda este tipo de vertederos si las alturas y las anchuras del hueco van a ser pequeñas: H < 75 mm y b < 30 cm, respectivamente. El vertedero en V de la Tabla 10.2c es de por sí interesante por presentar su rebose una única longitud característica, H, y no hay una «anchura» adicional. Por tanto el caudal será proporcional a H5/2 en vez de a H3/2. Aplicando la ecuación de Bernoulli a la apertura triangular se obtiene el siguiente caudal ideal: Qideal =

Vertedero en V:

8 2 e 1/ 2 5 / 2 tg g H 15 2

(10.59)

donde θ es el ángulo total de la hendidura triangular. Las mediciones experimentales proporcionan caudales un 40 por 100 menores, principalmente a consecuencia de la contracción del flujo, que también aparece en descargas a través de orificios en paredes delgadas. La fórmula recomendada para determinar el caudal incluye por tanto un coeficiente de descarga determinado experimentalmente:

e Qvertedero en V 5 Cd tg g1 / 2 H 5 / 2 2

Cd 5 0, 44

para

20° < e < 100°

(10.60)

para alturas H > 50 mm. Para alturas menores, los efectos de los números de Reynolds y Weber empiezan a ser importantes, con lo que se recomienda la siguiente corrección [23] para esos casos: Alturas pequeñas, H < 50 mm:

Cd, vertedero enV 5 0, 44 +

0, 9 (Re We)1 / 6

(10.61)

donde Re = ρg1/2H3/2/µ y We = ρgH2/ϒ, donde ϒ es el coeficiente de tensión superficial. Esta fórmula puede también usarse con líquidos distintos al agua, siempre que Re > 300/tg(θ/2)3/4 y We > 300. En la Referencia 25 puede encontrarse información sobre más tipos de vertederos de pared delgada, como por ejemplo los trapezoidales, parabólicos, circulares o en forma de U. Esta referencia también incluye información extensa sobre los vertederos de pared gruesa. Véanse también las Referencias 29 y 30.

EJEMPLO 10.12 Se diseña un vertedero en V para medir el caudal en un canal de irrigación. Con el fin de facilitar la lectura del medidor del nivel del agua aguas arriba, se desea que H * 30 cm para el caudal de diseño de 150 m3/s. ¿Cuál es el ángulo θ apropiado para el vertedero? Solución • Consideraciones. Flujo estacionario, efectos del número de Weber despreciables por ser H > 50 mm. • Procedimiento. La Ecuación (10.60) es aplicable (eso esperamos) con un ángulo del vertedero de 20° < θ < 100°. • Valor de las propiedades. Si la tensión superficial es despreciable, no hacen falta las propiedades del fluido. ¿Por qué? • Resolución. Utilice la Ecuación (10.60) para conocer el caudal y determinar θ : Q=

150 m 3 /h m3 m £ e ¥ 1/ 2 5 / 2 £e ¥£ 9, 81 2 ¥ = 0, 0417 * Cd tg g H = 0, 44 tg ¤ 2¦ ¤ 2¦¤ 3600 s/h s s ¦ de donde tg

£e ¥ ) 0, 613 o e ) 63° ¤ 2¦

1/ 2

(0, 3 m)5/2

Resp.

• Comentarios. Un ángulo de 63° creará una altura aguas arriba de 30 cm. Cualquier ángulo menor creará una altura incluso mayor. Las fórmulas para vertederos dependen principalmente de la gravedad y de la geometría. Propiedades del fluido, tales como (ρ, µ, ϒ), sólo aparecen en ligeras modificaciones o en factores de corrección.

FLUJO EN CANALES ABIERTOS

707

Curvas de remanso aguas arriba Un vertedero es un obstáculo para el flujo que no sólo altera el flujo local sobre el vertedero, sino que también modifica la distribución de calados del flujo lejos aguas arriba del obstáculo. Cualquier obstáculo grande en un flujo en un canal abierto crea una curva de remanso aguas arriba que puede calcularse mediante la teoría de la Sección 10.6 para movimientos gradualmente variados. Si se conoce Q, la fórmula para vertederos (10.55) determina H y por tanto el calado del agua justo aguas arriba del vertedero, y = H + Y, donde Y es la altura del vertedero. Podemos calcular y(x) aguas arriba del vertedero mediante la Ecuación (10.51), siguiendo en este caso una solución del tipo S-1 (Figura 10.14c). Un obstáculo así, donde el calado del agua se correlaciona con el caudal, recibe el nombre de punto de control del canal. Estos son los puntos iniciales para los análisis numéricos de inundaciones en ríos llevados a cabo, por ejemplo, por el cuerpo de ingenieros del ejército de tierra de los EE.UU. [26]. EJEMPLO 10.13 Un canal rectangular de 8 m de anchura y un caudal de 30 m3/s, se topa con un aliviadero de pared delgada de 4 m de altura, como se muestra en la Figura E10.13a. Determine el calado del agua 2 km aguas arriba si la pendiente del canal es S0 = 0,0004 y n = 0,025.

(S –

e re

rv Cu

o ans

(De la teoría de vertederos)

yn = 3,20 m Y=4m

Q = 30 m 3/s Q

y? Alividero

yc = 1,13 m

x = –2000 m

S0 = 0,0004, b = 8 m n de Manning = 0,025

x=0

E10.13a

Solución Determine primeramente la altura H producida por la presa usando la teoría de vertederos de pared delgada, Ecuación (10.56): H ¥ Q = 30 m 3 /s = Cd bg1 / 2 H 3 / 2 = £ 0, 564 + 0, 0846 (8 m)(9,81 m/s2 )1 / 2 H 3 / 2 ¤ 4 m¦

Como el término 0,0846H/4 entre paréntesis es pequeño, podemos iterar o utilizar EES para obtener la solución H 5 1,59 m. Por tanto, nuestra condición inicial en x = 0, justo aguas arriba del aliviadero, es y(0) = Y + H = 4 + 1,59 = 5,59 m. Compare éste con el calado crítico de la Ecuación (10.30): £ Q2 ¥ yc = ² 2 ´ ¤ b g¦

1/ 3

(30 m 3 /s)2 =³ 2 2 µ ( 8 m) ( 9 , 81 m/s )

= 1,13 m

708

MECÁNICA DE FLUIDOS

Como y(0) es mayor que yc, el canal circula en régimen lento. Finalmente, estime el calado normal mediante la ecuación de Chézy (10.19): Q = 30 m 3 /s =

£ 8 yn ¥ 1, 0 _ byRh2 / 3S01 / 2 = (8 m) yn ² ´ n 0, 025 ¤ 8 + 2 yn ¦

1,0 10.000

0,8

∞

1000 300 100

0,6

η máx 10

0,4

Q = 5 gal/min 0,2

0 100

300

1000

3000

10.000

30.000

Figura 11.14. Rendimiento máximo de bombas en función del caudal y de la velocidad específica. (Adaptado de las Referencias 4 y 31.)

1,0

2 H H*

3 Ns = 10.000

Ns = 10.000

0,6

4000

Pf Ns = 10.000

600

0,2

4000 600

Pf* 1

4000 600

1 Q Q*

Figura 11.15. Efecto de la velocidad específica en las curvas características de las bombas.

Mecánica de fluidos computacional Tradicionalmente, el diseño de turbomáquinas ha sido altamente experimental y se ha basado en teorías simples, como las presentadas en la Sección 11.2, que sólo son capaces de reproducir tendencias. Las correlaciones adimensionales, como las de la Figura 11.15, son útiles, pero requieren experimentos muy caros. Hay que tener presente que el flujo en el interior de una bomba es tridimensional, no estacionario (periódico y turbulento), con desprendimiento de la capa límite, zonas de recirculación y estelas no estacionarias que interfieren con el difusor, los álabes y los espacios entre partes móviles. Parece evidente que no se pueden obtener predicciones cuantitativas firmes empleando para ello la teoría unidimensional. En cambio, el moderno uso de ordenadores para el análisis de flujos puede dar resultados realistas y se está convirtiendo de hecho en una herramienta muy útil para los diseñadores de turbomáquinas. Un

750

MECÁNICA DE FLUIDOS

buen ejemplo es la Referencia 56, en la que se presentan simultáneamente resultados experimentales y numéricos para el difusor de una bomba centrífuga. En la Figura 11.16a se presenta una fotografía del dispositivo. Está construido mediante Perspex transparente

(a)

Rotor

Difusor (b)

Figura 11.16. En la actualidad el diseño de turbomáquinas involucra experimentación y Mecánica de Fluidos Computacional (CFD): (a) un rotor centrífugo y su difusor (cortesía de K. Eisele et al., «Flow Analysis in a Pump Diffuser: Part 1, Measurements; Part 2, CFD», Journal of Fluids Eng. vol. 119, diciembre 1997, págs. 968-984/American Society of Mechanical Engineers); (b) una malla tridimensional de un modelo CFD de este sistema (de la Referencia 56, con permiso de la American Society of Mechanical Engineers).

TURBOMÁQUINAS

751

para que se puedan realizar medidas de velocimetría mediante seguimiento láser de las partículas (LPTV, Laser Particle Tracking Velocimetry) y anemometría láser doppler (LDA, Laser Doppler Anemometry). Los datos experimentales se comparan con una simulación CFD del rotor y el difusor en la que se emplea la malla representada en la Figura 11.16b. Las simulaciones emplean un modelo de turbulencia denominado k-ε, muy popular en los códigos CFD comerciales (véase Sección 8.9). Los resultados son muy buenos, aunque no excelentes. El modelo CFD predice los resultados de velocidad y presión hasta que se produce la separación del flujo, momento en el que los resultados pasan a ser puramente cualitativos. Claramente, los métodos CFD están adquiriendo una gran importancia en el diseño de turbomáquinas [42, 45].

11.5. ACOPLAMIENTO DE BOMBAS A UNA RED La última prueba de una bomba es su acoplamiento con las características de funcionamiento de una red. Físicamente, la carga requerida por el sistema debe coincidir con la altura manométrica proporcionada por la bomba, y esta intersección debería producirse en el punto de máximo rendimiento de la bomba. La carga del sistema puede, probablemente, contener una elevación hidrostática z2 – z1 más unas pérdidas asociadas a la fricción en tuberías y empalmes: Hsis = ( z2 < z1 ) +

V 2 £ fL - + - K ¥¦ 2g ¤ D

(11.34)

donde -K representa las pérdidas locales y V es la velocidad del fluido en el conducto principal. Puesto que V es proporcional al caudal de la bomba Q, la Ecuación (11.34) representa la curva de carga necesaria del sistema Hs(Q). En la Figura 11.17 se presentan tres ejemplos: carga estática Hs = a, carga estática más fricción laminar Hs = a + bQ y carga estática más fricción turbulenta Hs = a + cQ2. La intersección de las curvas del sistema con la curva característica de la bomba H(Q) determina el punto de funcionamiento. En la Figura 11.17 el punto de funcionamiento con fricción laminar corresponde al rendimiento máximo, mientras que las curvas turbulenta y estática cortan a la característica de la bomba fuera del punto de diseño. Esto puede ser inevitable si las variables del sistema cambian, pero si la bomba va a trabajar siempre fuera de diseño, el tamaño de la bomba o su velocidad deberían cambiarse. Está claro que no siempre es posible conseguir un acoplamiento perfecto, porque las bombas comerciales sólo tienen tamaños y velocidades discretos. Ilustremos estos conceptos con un ejemplo.

Curvas de las bombas

Bomba η (Q)

2 3 Fricción turbulenta

H, η

Fricción laminar Carga estática Bomba H(Q)

Curvas de la red H(Q) Q1

Puntos de funcionamiento

Figura 11.17. Ilustración de los puntos de funcionamiento de una bomba para tres tipos de curvas de la red.

752

MECÁNICA DE FLUIDOS

EJEMPLO 11.6 Se quiere utilizar la bomba de 32 in de la Figura 11.7a a 1170 rpm para bombear agua a 60 °F de un depósito a otro 120 ft más alto a través de una tubería de 1500 ft de largo y 16 in de diámetro D, con un coeficiente de fricción ƒ = 0,030. (a) ¿Cuál será el punto de funcionamiento y el rendimiento? (b) ¿A qué velocidad debe cambiarse la bomba para que funcione en el PMR? Solución Apartado (a) En los depósitos las velocidades son nulas. Por tanto, la carga del sistema es Hs = z2 < z1 +

V 2 fL V 2 0, 030(1500 ft) = 120 ft + 16 2g D 2g 12 ft

Por continuidad en la tubería, V = Q/A = Q/[14/(16 ft)2] y, sustituyendo V en la ecuación anterior, tenemos 12 Hs = 120 + 0,269Q2

Q en ft3/s

(1)

Puesto que en la Figura 11.7a se utilizan miles de galones por minuto en abscisas, convertiremos el valor de Q en la Ecuación (1) a estas unidades: Hs =120 + 1,335Q2

Q en 103 gal/min

(2)

Podemos representar la Ecuación (2) en la Figura 11.7a y ver dónde corta a la curva de la altura manométrica de la bomba de 32 in, como en la Figura E11.6. Una solución gráfica proporciona aproximadamente H 5 430 ft

Q 5 15.000 gal/min

Hbomba

490 ft

Punto de funcionamiento

430 ft

120 ft

15.000 gal/min

E11.6

El rendimiento es aproximadamente del 82 por 100, ligeramente fuera del punto de diseño. Es posible obtener una solución analítica si la curva de la altura manométrica de la bomba se aproxima por una parábola, lo que representa una aproximación bastante buena: Hbomba 5 490 – 0,26Q2

Q en 103 gal/min

Las Ecuaciones (2) y (3) proporcionan el punto de funcionamiento: 490 – 0,26Q2 = 120 + 1,335Q2 o

Q2 =

490 < 120 = 232 0, 26 + 1, 335

(3)

TURBOMÁQUINAS

Q = 15,2 × 103 gal/min = 15.200 gal/min

753

Resp. (a)

H = 490 – 0,26(15,2) = 430 ft

Resp. (a)

Apartado (b) Para cambiar el punto de funcionamiento al PMR, cambiamos n, que influye en Q ∝ n y H ∝ n2. De la Figura 11.7a, en el PMR, H* 5 386 ft. Por tanto, para cualquier n, H* = 386(n/1170)2. También se tiene Q* 5 20 × 103 gal/min; luego, para cualquier n, Q* = 20(n/1170). Igualando H* con las características del sistema, Ecuación (2), tenemos: 2

n ¥ n ¥ 5 120 + 1, 335£ 20 H * = 386£ ¤ 1170 ¦ ¤ 1170 ¦

Resp. (b)

que proporciona n2 < 0. Por tanto, con esta bomba es imposible operar en el PMR en este sistema.

Bombas conectadas en paralelo Si una bomba proporciona la altura manométrica adecuada, pero un caudal demasiado bajo, una solución posible consiste en combinar dos bombas similares en paralelo, compartiendo la misma succión y las mismas condiciones de entrada. Una disposición en paralelo se utiliza también si varía el caudal de demanda, de modo que se usa una bomba para caudales bajos y la segunda bomba se arranca para caudales mayores. Ambas bombas deben disponer de válvulas que eviten flujo inverso cuando una de las dos se para. Las dos bombas en paralelo no necesitan ser idénticas. Físicamente, sus caudales deben sumarse para la misma altura manométrica, como se ilustra en la Figura 11.18. Si la bomba A tiene una altura manométrica mayor que la bomba B, ésta no debe añadirse hasta que la carga de operación sea menor que la altura manométrica de la bomba B a caudal nulo. Puesto que la curva del sistema sube con Q, el caudal total suministrado QA+B será menor que los caudales por separado QA + QB pero mayor que el suministrado por cada una de ellas. Para una curva del sistema muy horizontal (estática), dos bombas semejantes en paralelo suministran aproximadamente el mismo caudal. La potencia al freno del conjunto se obtiene sumando la potencia de cada una de las bombas A y B a la misma altura manométrica del punto de funcionamiento. El rendimiento del conjunto es igual a ρg(QA+B)(HA+B)/(550 Pƒ,A+B). Si las bombas A y B no son idénticas, como en la Figura 11.18, la bomba B no debe funcionar y no puede arrancarse si el punto de funcionamiento está por encima de su altura manométrica a caudal nulo.

H Bomba A Bomba B

Combinación en paralelo Curva de la red

B A A+B Puntos de funcionamiento

Figura 11.18. Curvas características y puntos de funcionamiento de dos bombas por separado y conectadas en paralelo a la red.

754

MECÁNICA DE FLUIDOS

Bombas conectadas en serie Si una bomba proporciona el caudal adecuado, pero una altura manométrica demasiado baja, se puede considerar añadir una bomba semejante en serie, con la salida de la bomba B unida directamente al lado de succión de la bomba A. Como se muestra en la Figura 11.19, el principio físico para combinar dos bombas en serie es sumar las alturas manométricas de ambas para el mismo caudal, para obtener así la curva característica combinada. Las dos bombas no necesitan ser idénticas, solamente deben suministrar el mismo caudal. Las bombas podrían incluso tener diferentes velocidades, aunque normalmente están movidas por un mismo eje. La necesidad de una combinación en serie da lugar a curvas características que decrecen más rápidamente con el caudal; esto es, la altura manométrica del conjunto es mayor que la que podría proporcionar cualquiera por separado. El punto de funcionamiento del conjunto debe corresponder a un valor mayor que el de A o B por separado, pero no tan grande como su suma. La potencia de la combinación es la suma de la potencia al freno de A y B en el punto de funcionamiento correspondiente al mismo caudal en ambas. El rendimiento del conjunto es

lg(QA + B )( H A + B ) 550 Pf , A + B semejante al de las bombas en paralelo. Si las bombas se usan en serie o en paralelo, el conjunto será poco económico a menos que ambas bombas funcionen cerca del punto de máximo rendimiento.

Bombas de varios escalones Para el funcionamiento continuado con alturas manométricas muy altas, la solución es una bomba de varios escalones, con la salida de un rotor conectada directamente con la entrada del siguiente. Se han agrupado bombas centrífugas, helicocentrífugas y axiales hasta formar unos 50 escalones, con alturas manométricas por encima de 8000 pies de agua e incrementos de presión por encima de 5000 lbf/in2. La Figura 11.20 muestra la sección de un compresor centrífugo de siete escalones para propano que proporciona un incremento de presión de 300 lbf/in2 con un caudal de 40.000 ft3/min y una potencia de 35.000 hp. H

Curva de la red HB Combinación en serie

HA Bomba A Bomba B 0 B A A+B Puntos de funcionamiento

Figura 11.19. Curva característica de dos bombas conectadas en serie.

TURBOMÁQUINAS

755

Figura 11.20. Sección transversal de un compresor centrífugo de propano de siete escalones que proporciona 40.000 ft3/min a 35.000 hp y un salto de presiones de 300 lbf/in2. Obsérvese la segunda entrada en el quinto escalón y el diseño variable del rotor. (Cortesía de DeLaval-Stork V.O.F., Centrifugal Compressor Division.)

Compresores La mayor parte de este capítulo trata de flujos incompresibles, esto es, con variaciones despreciables de la densidad del fluido. Incluso la bomba de la Figura 11.7, que puede producir una altura manométrica de 600 ft a 1170 rpm, solamente aumenta la presión del aire en 46 lbf/ft2, lo que implica un cambio de densidad de aproximadamente un 2 por 100. La situación cambia cuando aumenta la velocidad, recuérdese que ∆p ∝ n2, y hay varios escalones de compresión, en cuyo caso se producen cambios muy grandes en la presión y la densidad. Este tipo de dispositivos se denominan compresores, como el de la Figura 11.20. En este caso el concepto de carga estática, H = ∆p/ρg, no es adecuado, ya que la densidad ρ varía. Las actuaciones del compresor se miden mediante (1) la relación de presiones a través de la etapa p2/p1 y (2) el cambio en la entalpía de remanso (h02 – h01), donde h0 = h + 12V2 (véase Sección 9.3). Combinando m etapas en serie se obtiene pfinal/pinicial 5 (p2/p1)m. Al incrementarse la densidad, se requiere menos área; obsérvese que el tamaño del rotor disminuye de derecha a izquierda en la Figura 11.20. Los compresores pueden ser de tipo centrífugo o axial [21 a 23]. El rendimiento de un compresor, entre la condición de entrada 1 y la sección final de salida ƒ, se define como el cambio en la entalpía del gas, suponiendo flujo adiabático:

dcomp =

h f < h01 h0 f < h01

Tf < T01 T0 f < T01

756

MECÁNICA DE FLUIDOS

Los rendimientos de los compresores son similares a los de las máquinas hidráulicas (ηmáx 5 70 a 80 por 100), pero su rango de caudales es más limitado: en el rango inferior como consecuencia de la pérdida del compresor, en la que los álabes entran en pérdida, dando lugar a la aparición de vibraciones, y en el rango superior por la aparición de ondas de choque (Sección 9.4), al aparecer un punto del sistema en el que el número de Mach alcanza el valor unidad. El flujo másico de un compresor se representa generalmente usando el mismo tipo de función adimensional de la Ecuación (9.47): m·˙(RT0)1/2/(D2p0), en el que se alcanzará un máximo cuando comiencen a aparecer ondas de choque. Para más detalles véanse las Referencias 21 a 23. EJEMPLO 11.7 Como extensión al Ejemplo 11.6, investigue la utilización de dos bombas de 32 in en paralelo para aumentar el caudal. ¿Es más eficiente este sistema? Solución Como las dos bombas son idénticas, ambas proporcionan 12Q a la misma velocidad de 1170 rpm. La curva del sistema es la misma y la relación entre las cargas proporciona H = 490 – 0,26(12Q)2 = 120 + 1,335Q2 o

Q2 =

490 < 120 1, 335 + 0, 065

Q = 16.300 gal/min

Resp.

Este resultado es sólo un 7 por 100 mayor que el de una bomba simple. Cada bomba proporciona un caudal 12Q = 8130 gal/min, para el cual el rendimiento es de sólo un 60 por 100. La potencia al freno total requerida es de 3200, mientras que una bomba simple sólo emplea 2000 hp. El diseño es poco eficiente.

EJEMPLO 11.8 Supongamos que el cambio de elevación del Ejemplo 11.6 se aumenta de 120 a 500 ft, superior al que puede proporcionar una sola bomba de 32 in. Investige la posibilidad de emplear bombas de 32 in en serie a 1170 rpm. Solución Como ambas bombas son idénticas, la carga total será el doble y la constante 120 de la curva de carga del sistema debe reemplazarse por 500. El equilibrio de cargas proporciona H = 2(490 – 0,26Q2) = 500 + 1,335Q2 o

Q2 =

980 < 500 1, 335 + 0, 52

Q = 16,1 × 10 3 gal/min

Resp.

La carga de funcionamiento es de 500 + 1,335(16,1)2 = 845 ft, un 97 por 100 mayor que la correspondiente a una sola bomba del Ejemplo 11.5. Cada bomba está operando a 16,1 × 103 gal/min, que en la Figura 11.7a representa un rendimiento del 83 por 100, un diseño bastante eficiente. Para bombear en este punto de funcionamiento se necesita una potencia de 4100 hp, unos 2050 hp para cada bomba.

11.6. TURBINAS Una turbina extrae energía de un fluido que posee una carga elevada; pero sería demasiado simple decir que una turbina es una bomba que gira al revés. Básicamente hay dos tipos: de reacción y de impulso, según la forma en la que transforman la carga. En las turbinas de reacción, el fluido llena por completo los canales

TURBOMÁQUINAS

757

entre álabes, y el cambio de carga o caída de presión tiene lugar en el rotor. Los diseños de reacción pueden ser de flujo radial, heliocentrífugo y axial, y son esencialmente máquinas diseñadas para admitir un fluido con alta energía y extraer su cantidad de movimiento. Una turbina de impulso convierte primero la carga en un chorro de alta velocidad por medio de una tobera. En su movimiento, el chorro golpea los álabes que van pasando. Los canales del rotor no están completamente llenos de fluido y el flujo en los álabes se produce, esencialmente, a presión constante. Las turbinas de reacción son de menor tamaño, ya que el fluido llena todos los álabes a la vez.

Turbinas de reacción Las turbinas son dispositivos de baja carga y gran caudal. El flujo es opuesto al de una bomba, entrando por la sección de mayor tamaño y descargando a través del ojo después de ceder al rotor la mayor parte de su energía. Los primeros diseños fueron muy poco eficientes porque carecían de álabes guía a la entrada para dirigir suavemente la corriente hacia los canales del rotor. La primera turbina centrípeta eficiente fue construida en 1849 por el ingeniero americano James B. Francis, y todos los diseños radiales o heliocentrífugos son conocidos como Turbinas Francis. Con cargas aún inferiores se pueden diseñar turbinas más compactas con flujo puramente axial, las llamadas turbinas de hélice. La hélice puede ser de palas fijas o ajustables (tipo Kaplan); estas últimas son más complicadas pero mucho más eficientes a bajas potencias. La Figura 11.21 muestra esquemáticamente diseños de rotor para turbinas Francis radial y helicocentrífuga y para turbinas de hélice.

Teoría ideal de turbinas radiales Las fórmulas de Euler para turbomáquinas (11.11) también son aplicables a máquinas que extraen energía, sin más que modificar la forma de los álabes e invertir la dirección del flujo. En la Figura 11.22 se representa el rotor de una turbina axial. De nuevo se supone flujo unidimensional y sin fricción a través del rotor de la turbina. Las guías ajustables de la entrada se necesitan para obtener un buen rendimiento, ya que al conducir el flujo de entrada a los álabes con un ángulo α2 y una velocidad absoluta V2 se reducen las pérdidas por desprendimiento o desalineación del flujo. Después de sumar vectorialmente la velocidad del extremo del rotor u2 = ωr2, el ángulo exterior del álabe debería ser β2 para acomodarse a la velocidad relativa w2, como se muestra en la figura. (Para los diagramas de velocidad de bombas, véase Figura 11.4.)

Nsp = 20

10,0

0,4

CH 9,0 CH 0,3 (a) Nsp = 60

1,0

CQ CQ 0,2

0,8 η

0,6

(b)

0,4

0,1

0,2 (c) Nsp = 140

0,0

CP (d)

Figura 11.21. Turbinas de reacción: (a) Francis (tipo radial), (b) Francis (helicocentrípeta), (c) hélice (axial), (d) curvas características para una turbina Francis, n = 600 rpm, D = 2,25 ft, Nsp = 29.

758

MECÁNICA DE FLUIDOS

Álabes guía ajustables u 2 = rω 2

Vt2

α2

Vn2

β2 Álabe w2

V2 u1 r1

α1 Rotor

β1

Figura 11.22. Diagramas de velocidad a la entrada y salida del rotor ideal de una turbina de reacción radial.

La aplicación del teorema del momento cinético al volumen de control de la Figura 11.22, Ecuación (3.55) (véase Ejemplo 3.14 para un caso similar), permite obtener una fórmula idealizada para la potencia P extraída por el rotor: P = ωT = ρωQ(r2Vt2 – r1Vt1) = ρQ(u2V2 cos α2 – u1V1 cos α1)

(11.35)

donde Vt2 y Vt1 son las componentes circunferenciales de la velocidad a la entrada y la salida, respectivamente. Obsérvese que la Ecuación (11.35) es idéntica a la Ecuación (11.11) para una bomba radial, con la excepción de que la forma de los álabes es distinta. La componente normal de la velocidad absoluta a la entrada Vn2 = V2 sen α2 es proporcional al caudal Q. Si el caudal cambia y la velocidad del rotor u2 es constante, los álabes guía deben ajustarse a un nuevo ángulo α2 de forma que w2 continúe siguiendo la superficie del álabe. Por tanto, los álabes guía ajustables a la entrada son fundamentales para evitar las pérdidas por aparición de ondas de choque.

Velocidad específica de turbinas Los parámetros de las turbinas son similares a los de las bombas, pero la variable dependiente es la potencia de salida, que depende del caudal Q, la altura neta disponible H, la velocidad del rotor n y el diámetro D. El rendimiento es la potencia de salida dividida por la potencia disponible ρgQH. Las formas adimensionales son CQ, CH y CP, definidas como para las bombas, Ecuaciones (11.23). Si despreciamos los efectos del número de Reynolds y de la rugosidad relativa, las relaciones funcionales se escriben con CP como variable independiente: CH =

gH = CH (CP ) n 2 D2

CQ =

Q = CQ (CP ) nD3

lgQH

= (CP )

(11.36)

La Figura 11.21d muestra las curvas características típicas de una pequeña turbina Francis de tipo radial. El punto de máximo rendimiento se denomina potencia normal, y sus valores para esta turbina particular son

ηmáx = 0,89

CP*=2,70

CQ* = 0,34

CH* = 9,03

TURBOMÁQUINAS

759

Un parámetro que relaciona la potencia de salida con la altura neta, con independencia del tamaño, se obtiene eliminando el diámetro entre CH y CP. Se denomina velocidad específica de turbinas:

Forma rigurosa:

Nsp v =

Forma común:

n( Pf )1 / 2 CP*1 / 2 = CH*5 / 4 l1 / 2 ( gH )5 / 4

Nsp =

(11.37a)

(rpm)( Pf )1/2

(11.37b)

[ H (ft)]5/4

Para el agua, ρ = 1,94 slugs/ft3 y Nsp = 273,3 N′sp. Los distintos diseños de turbina se pueden clasificar, de acuerdo con el margen de velocidades específicas, del siguiente modo: Tipo de turbina

Margen de Nsp

Margen de CH

Impulso Francis Hélice: Agua Gas, vapor

1-10 10-110

15-50 5-25

100-250 25-300

1-4 10-80

Obsérvese que Nsp, como Ns en el caso de las bombas, se define sólo con respecto al PMR y tiene un valor único para cada familia de turbinas. En la Figura 11.21d, Nsp = 273,3(2,70)1/2/(9,03)5/4 = 29, con independencia de su tamaño. Al igual que en el caso de las bombas, las turbinas de mayor tamaño son generalmente más eficientes y las Ecuaciones (11.29) se pueden usar para estimar el rendimiento en ausencia de otros datos. El diseño completo de una turbina de generación de potencia a gran escala es un complejo proyecto de ingeniería, en el que intervienen conductos de entrada y salida, bandejas, álabes guía, compuertas, carcasas, generadores con sus sistemas de refrigeración, cojinetes y cajas de transmisión, rotores, álabes, tuberías especiales y controles automáticos. En la Figura 11.23 se presentan algunos diseños típicos de turbinas de reacción de gran tamaño. El diseño reversible bomba/turbina de la Figura 11.23d requiere un cuidado especial para que los álabes guía ajustables funcionen de forma eficiente en ambos sentidos. Los diseños más grandes de turbinas hidráulicas (1000 MW) resultan abrumadores cuando se comparan con la escala humana, como es el caso de la turbina mostrada en la Figura 11.24. Las ventajas económicas de los ensayos mediante modelos a escala son evidentes en esta fotografía de las turbinas Francis usadas en la presa de Grand Coulee.

Turbinas de impulso Para grandes cargas y potencias relativamente bajas, esto es, bajos Nsp, una turbina de reacción requeriría velocidades demasiado altas, así como una carcasa de mucho mayor espesor debido a las altas presiones que se generan en el rotor. La turbina de impulso de la Figura 11.25 es ideal para esta situación. Puesto que Nsp es pequeño, n será pequeño y las altas presiones estarán confinadas a la pequeña tobera, que convierte la carga en un chorro de alta velocidad Vj a la presión atmosférica. El chorro incide sobre la cazoleta y le imprime un cambio de cantidad de movimiento similar al que aparece en el análisis del volumen de control para álabes móviles del Ejemplo 3.10 o del Problema P3.51. Las cazoletas tienen forma de copa elíptica dividida por la mitad, como se observa en la Figura 11.25b. Se denominan turbinas Pelton, en honor a Lester A. Pelton (1829-1908), quien realizó el primer diseño eficiente. Según el Ejemplo 3.10, la fuerza por unidad de gasto másico sobre una paleta, o en este caso sobre una cazoleta Pelton, es (Vj – u)(1 – cos β), donde u es la velocidad de la paleta y β es el ángulo de salida del chorro. Para una paleta simple, como la del Ejemplo 3.10, el flujo másico sería ρAj(Vj – u), pero para una turbina Pelton, donde las cazoletas pasan continuamente capturando todo el flujo, el flujo másico se-

760

MECÁNICA DE FLUIDOS

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 11.23. Los diseños de las turbinas de gran tamaño dependen de la carga disponible, del caudal y de las condiciones de operación: (a) Francis (radial), (b) Kaplan (hélice), (c) montaje en cubeta con rotor de hélice; (d) turbina-bomba reversible con rotor radial. (Cortesía de Voith Siemens Hydro Power.)

TURBOMÁQUINAS

761

Figura 11.24. Vista interior de una de las turbinas de 1,1 millones de caballos (820 MW) instaladas en la presa de Grand Coulee, en el río Columbia. Obsérvese la carcasa en espiral, los álabes guía fijos («bastidor en anillo») y los álabes interiores ajustables («compuertas»). (Cortesía de Voith Siemens Hydro Power.)

ría ρQ = ρAjVj. Un análisis alternativo emplea la ecuación de Euler de las turbomáquinas (11.11) y el diagrama de velocidades de la Figura 11.25c. Obsérvese que u1 = u2 = u, y sustituyendo las velocidades absolutas tangenciales en la entrada y la salida de la turbina, la relación de potencias es: P = ρQ(u1Vt1 – u2Vt2)= ρQ{uVj – u[u + (Vj – u) cos β]} P = ρQu(Vj – u)(1 – cos β)

(11.38)

Vj − u

Cazoleta n, ω

β ≈ 165° (b) (Vj − u) cos β

Válvula de aguja

u = ωr

β u = 2π nr (a)

Vj − u

V2 (c)

Figura 11.25. Turbina de impulso: (a) vista lateral de la rueda y el chorro, (b) cazoleta vista desde arriba, (c) diagrama de velocidades típico.

762

MECÁNICA DE FLUIDOS

donde u = 2/nr es la velocidad lineal de la cazoleta y r es el radio de paso o distancia al centro del chorro. El ángulo de la cazoleta β = 180° proporciona la máxima potencia, pero físicamente es poco práctico. En la práctica, β 5 165°, o 1 – cos β 5 1,966, sólo un 2 por 100 menor que para potencia máxima. La potencia teórica de una turbina de impulso, según la Ecuación (11.38), es parabólica en u y tiene un máximo en dP/du = 0, o u* = 2πn*r = 12Vj

(11.39)

Para una tobera perfecta, toda la altura neta se convierte en velocidad del chorro Vj = (2gH)1/2. Realmente, dado que hay unas pérdidas en la tobera del 2 al 8 por 100, se utiliza un coeficiente de velocidad Cv: 0,92 ) Cv ) 0,98

Vj = Cv(2gH)1/2

(11.40)

Combinando las Ecuaciones (11.36) y (11.40), el rendimiento teórico de una turbina de impulso es

η = 2(1 – cos β)φ(Cv – φ)

donde

(11.41)

u = factor de velocidad periférico (2 gH )1 / 2

El rendimiento máximo se obtiene cuando φ = 12Cv 5 0,47. La Figura 11.26 muestra la Ecuación (11.41) representada para una turbina ideal (β = 180°, Cv = 1,0) y para condiciones de trabajo típicas (β = 160°, Cv = 0,94). El último caso predice ηmáx = 85 por 100 para φ = 0,47, pero los datos de ensayo para una turbina Pelton de 24 in dan un rendimiento menor debido a las holguras, la fricción mecánica, el chapoteo y el flujo no uniforme en las cazoletas. En este ensayo ηmáx = 80 por 100, y, generalmente hablando, una turbina de impulso no llega a ser tan eficiente como una Francis o de hélice en el PMR. La Figura 11.27 muestra el rendimiento máximo para los tres tipos de turbinas, señalando la importancia de la velocidad específica Nsp como herramienta de selección para el diseñador. Estos rendimientos son máximos y se han obtenido de máquinas de gran tamaño cuidadosamente diseñadas. La potencia disponible en una turbina puede variar como consecuencia de los cambios de altura neta o de caudal; ambos cambios son comunes en instalaciones tales como plantas hidroeléctricas. La demanda de

1,0

0,8

0,6

η 0,4

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

u φ= (2gH)1/2

Figura 11.26. Rendimiento de una turbina de impulso calculado con la Ecuación (11.41): línea sólida = ideal, β = 180°, Cv = 1,0; línea de puntos = real, β = 160°, Cv = 0,94; círculos = datos de una turbina Pelton de 2 ft de diámetro.

TURBOMÁQUINAS

763

1,0 Francis Hélice Impulso

η 0,9

0,8 1

100

1000

Nsp

Figura 11.27. Rendimiento máximo de distintos diseños de turbinas.

1,0 Kaplan (palas ajustables)

Francis

0,9

Impulso 0,8

Hélice de pala fija

10° 0,7

20° 0,6

0,5 0

40 60 Porcentaje de potencia nominal

100

Figura 11.28. Rendimiento en función del nivel de potencia para varios diseños de turbinas, a velocidad y altura neta constantes.

potencia a la turbina también puede variar de ligera a fuerte; el cambio de respuesta se realiza variando el caudal mediante el ajuste de una válvula de compuerta o de aguja (Figura 11.25a). Los tres tipos de turbina tienen un rendimiento bastante uniforme en función de la potencia extraída, como se muestra en la Figura 11.28. Especialmente eficiente es la turbina de hélice de palas ajustables (tipo Kaplan), mientras que la peor es la de hélice de palas fijas. El término potencia nominal de la Figura 11.28 corresponde a la mayor potencia de suministro garantizada por el constructor, mientras que la potencia normal es la suministrada a rendimiento máximo. Para más detalles sobre el diseño y operación de turbomáquinas se recomienda especialmente la Referencia 33. La factibilidad de microturbinas hidráulicas se discute en las Referencias 27 y 28.

EJEMPLO 11.9 Investigue la posibilidad de utilizar (a) una turbina Pelton similar a la de la Figura 11.26 o (b) una turbina Francis de la familia de las de la Figura 11.21d para proporcionar 30.000 hp con una altura neta de 1200 ft.

764

MECÁNICA DE FLUIDOS

Solución Apartado (a) De la Figura 11.27 se obtiene que la turbina Pelton es más eficiente N sp 5 4, 5 =

(rpm)(30.000 hp)1/2 (1200 ft)1,25

n = 183 rpm = 3,05 rev/s

De la Figura 11.26 se obtiene que el punto de máximo rendimiento ocurre cuando

q 5 0, 47 =

/D(3, 06 rev/s) [2(32,2)(1200)]1/2

D = 13,6 ft

Resp. (a)

Esta turbina Pelton es quizá un poco lenta y un poco grande. Se podría reducir D e incrementar n aumentando Nsp hasta 6 o 7, por ejemplo, aceptando una pequeña reducción en el rendimiento. También se podría usar una configuración de rueda doble, en la que cada una suministraría 15.000 hp, lo que permitiría cambiar D y n por un factor de 21/2: Rueda doble:

n = (183)21 / 2 = 260 rpm

13, 6 = 9, 6 ft 21 / 2

Resp. (a)

Apartado (b) La turbina Francis de la Figura 11.21d debe tener N sp = 29 =

(rpm)(30.000 hp)1/2 (1200 ft)1,25

n = 1183 rpm = 19,7 rev/s

El coeficiente de potencia óptimo es CP* = 2, 70 =

D5 = 412

P 30.000(550) = ln3 D5 (1, 94)(19, 7)3 D5

D = 3,33 ft = 40 in

Resp. (b)

Esta turbina es más rápida de lo normal y su carcasa debe soportar 1200 ft de agua o aproximadamente 520 lbf/in2 de presión interna, pero su tamaño, de 40 in, es tremendamente atractivo. En la actualidad, las turbinas Francis están operando con alturas netas superiores a los 1500 ft.

Aerogeneradores Desde hace mucho tiempo, la energía del viento ha sido empleada como fuente de energía. Los familiares molinos de viento de cuatro palas de Holanda, Inglaterra, las islas griegas y España se han usado durante siglos para bombear agua, moler grano y serrar madera. Los desarrollos modernos se centran en la capacidad de los aerogeneradores para producir energía eléctrica. Koeppl [47] resalta el potencial de los aerogeneradores de tipo hélice. Spera [49] presenta un detallado estudio sobre la factibilidad técnica y económica de la generación de energía eléctrica a partir del viento. También pueden consultarse las Referencias 47, 48, 50 y 51. En la Figura 11.29 se presentan algunos ejemplos de diseños de aerogeneradores. El familiar molino de viento multipala norteamericano (Figura 11.29a) presenta una eficiencia reducida, pero están muy exten-

TURBOMÁQUINAS

765

didos, pues constituyen una forma barata, fiable y robusta de bombear agua. Un diseño más eficiente es el aerogenerador de hélice de la Figura 11.29b, semejante al pionero sistema bipala de Smith-Putnam de 1250 kW que operó de 1941 a 1945 en la colina de Grampa, 12 millas al oeste de Rutland, en Vermont. El diseño de Smith-Putnam se rompió como consecuencia de un deficiente diseño estructural de las palas, pero fue capaz de resistir vientos de hasta 115 mi/h y su eficiencia fue ampliamente demostrada [47].

(a)

(c)

(d)

(b) Figura 11.29. Diseños de aerogenerador: (a) molino de viento multipala de una granja norteamericana (HAWT), (b) hélice de eje horizontal (HAWT) (cortesía de Northrop Grumman); (c) aerogenerador Darrieus (VAWT) (cortesía del National Research Council Canada); (d) aerogenerador Darrieus de palas rectas (VAWT) (cortesía del Dr. Peter Musgrove).

766

MECÁNICA DE FLUIDOS

Los molinos de viento multipala holandeses y norteamericanos y los aerogeneradores de hélice son ejemplos de aerogeneradores de eje horizontal (HAWT, horizontal-axis wind turbines), que son eficientes pero presentan el inconveniente de que requieren sólidos arriostramientos y precisan de sistemas de transmisión para combinarlos con generadores eléctricos. Para resolver estos problemas se han diseñado los aerogeneradores de eje vertical (VAWT, vertical-axis wind turbines), en los que se simplifican las transmisiones y los requerimientos estructurales. En la Figura 11.29c se presenta la «batidora» VAWT inventada por G. J. M. Darrieus en 1925, que actualmente se emplea en sistemas de muestra financiados por el gobierno norteamericano. Para minimizar los esfuerzos centrífugos las palas con torsión del aerogenerador de Darrieus tienen forma de curva troposkiana, que es la forma de equilibrio de una cadena amarrada a dos puntos que gira sobre un eje vertical. Otro VAWT más simple de construir que la troposkiana es el aerogenerador de Darrieus de palas rectas de la Figura 11.29d. Este diseño, propuesto por la Universidad de Reading, Inglaterra, tiene palas que pivotan como consecuencia de la fuerza centrífuga cuando la velocidad del viento aumenta, limitando así los esfuerzos flectores.

Teoría ideal de los aerogeneradores El rendimiento ideal de un aerogenerador de hélice sin fricción fue predicho por A. Betz en 1920 empleando el modelo mostrado en la Figura 11.30. La hélice se representa mediante un disco imaginario que produce un salto de presiones a través del plano de la hélice, que tiene un área A y donde la velocidad local del fluido es V. El viento se representa mediante un tubo de corriente con una velocidad de entrada V1 y una velocidad de salida V2. La presión aumenta hasta pb inmediatamente antes del disco y cae hasta pa inmediatamente después, volviendo a recuperar la presión de la corriente libre en la estela aguas abajo. Como se muestra en la figura, para mantener la hélice quieta mientras extrae energía del viento, debe existir una fuerza F hacia la izquierda sobre su soporte. Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento horizontal entre las secciones 1 y 2 se obtiene

- Fx = < F = m˙ (V2 < V1 ) Una relación similar para un volumen de control que se extiende entre dos secciones situadas justo delante y justo detrás del disco proporciona

- Fx = < F + ( pb < pa ) A = m˙ (Va < Vb ) = 0

Tubo de corriente por la hélice pa

V Viento

Estela

V1, p∞

V2, p∞

Área A

F pb p∞

p∞ p pa

Figura 11.30. Análisis del flujo en un aerogenerador mediante la analogía del disco en un tubo de corriente.

TURBOMÁQUINAS

767

Igualando ambas ecuaciones se obtiene la fuerza sobre la hélice F= (pb – pa)A = m·(V1 – V2)

(11.42)

Si suponemos que el flujo es ideal, se pueden calcular las presiones aplicando la ecuación de Bernoulli fuera del disco: De 1 a b:

p' + 12ρV12 = pb + 12ρV2

De a a 2:

pa + 12ρV2 = p' + 12ρV22

Restando estas relaciones y teniendo en cuenta que m· = ρAV a través de la hélice, se puede sustituir pb – pa en la Ecuación (11.42) para obtener pb – pa = 12ρ(V12 – V22) = ρV(V1 – V2) o

V = 12(V1 – V2)

(11.43)

La continuidad y la conservación de la cantidad de movimiento exigen entonces que la velocidad V a través del disco sea igual a la media entre la velocidad del viento y la velocidad en la estela lejos aguas abajo. Finalmente, la potencia extraída por el disco se puede escribir en función de V1 y V2 combinando las Ecuaciones (11.42) y (11.43): P = FV = ρAV2(V1 – V2) = 14ρA(V12 – V22)(V1 + V2)

(11.44)

Para una velocidad V1 dada, la máxima potencia posible se obtiene derivando P con respecto a V2 e igualando a cero. El resultado es P = Pmáx = 278 ρAV13

para V2 = 13V1

(11.45)

que corresponde a V = 2V1/3 a través del disco. La máxima potencia disponible en la hélice se obtiene de multiplicar el gasto másico a través de la hélice por la energía cinética total del viento: Pdisp = 12 m· V12 = 12ρAV13 Por este motivo, el máximo rendimiento posible para un aerogenerador ideal sin fricción se suele escribir en función del coeficiente de potencia CP =

1 2

P lAV13

(11.46)

Y de la Ecuación (11.45), el máximo coeficiente de potencia es = 0,593 Cp,máx= 16 27

(11.47)

Éste es el denominado número de Betz, que sirve como referencia ideal con la que comparar el rendimiento de un aerogenerador real. La Figura 11.31 muestra los coeficientes de potencia reales de diferentes diseños de aerogenerador. La variable independiente no es V2/V1 (que es una variable artificial que sólo resulta conveniente en la teoría ideal) sino la relación entre la velocidad de punta de pala ωr y la velocidad del viento. Obsérvese que la punta de la pala se puede mover mucho más rápido que el viento, algo sorprendente para los legos, pero bien conocido para los ingenieros. El aerogenerador de Darrieus comparte muchas de las ventajas de los aerogeneradores de eje vertical, pero presenta un par muy bajo a bajas velocidades (véase Figura 11.31) y gira también más lentamente que una hélice en el régimen de máxima potencia, por lo que requiere una mayor relación de multiplicación en la transmisión al generador eléctrico. El rotor de Savonius (Figura 6.29b) también ha sido sugerido como un diseño VAWT, por ser capaz de producir energía con velocidades del

768

MECÁNICA DE FLUIDOS

Número de Betz ideal

0,6 Ideal, tipo hélice

0,5

HAWT alta velocidad

0,4 Multipala norteamericano

Cp 0,3

Rotor de Savonius

0,2

0,1

Hélice horizontal Grumman (Fig. 11.29b)

VAWT Darrieus

Holandés, cuatro palas

3 4 5 Relación velocidad ω r/V1

Figura 11.31. Actuaciones estimadas de diferentes diseños de aerogenerador en función de la relación de velocidad de punta de pala. (De la Referencia 53.)

viento muy bajas, pero es ineficiente y susceptible de sufrir daños durante tormentas, ya que no es capaz de abanderarse con vientos fuertes. Como se muestra en la Figura 11.32, hay muchas áreas en el mundo en las que la energía eólica es una alternativa atractiva, como Irlanda, Groenlandia, Islandia, Argentina, Chile, Nueva Zelanda y España.

Menos de 750

750 – 2250

2250 – 3750

3750 – 5000

Más de 5000

Figura 11.32. Disponibilidad mundial de energía eólica sobre tierra: producción estimada de energía eléctrica de un aerogenerador a 11,2 m/s (25 mi/h), expresada en kWh/kW. (De la Referencia 54.)

TURBOMÁQUINAS

769

Robinson [53] ha estimado que Australia, sólo con vientos moderados, podría producir la mitad de su energía mediante el empleo de aerogeneradores. Siempre disponibles e inagotables, los vientos, suplementados con diseños de aerogeneradores de bajo coste, se presentan como una brillante alternativa de futuro. Por lo general, en el océano existen vientos más intensos que sobre tierra, por lo que se han sugerido muchos proyectos mar adentro [47]. En la actualidad existen varios proyectos importantes en desarrollo. En 2002, Eirtricity, la compañía irlandesa de electricidad, comenzó a construir un campo de 200 aerogeneradores en la costa del Mar de Irlanda, en aguas poco profundas situadas a 7 km de Arklow, en la costa este. Cada aerogenerador dispone de un rotor de 60 m de diámetro y puede generar una potencia de 2,6 MW. El coste estimado de la instalación es de 563 millones de dólares (aproximadamente 1000 dólares por MW). Eirtricity predice que, si existiera un apoyo político claro, la energía del viento de las costas podría producir dos tercios de las necesidades energéticas de Europa en el año 2020.

Resumen El diseño de turbomáquinas es probablemente la aplicación más práctica y activa de los principios de la Mecánica de Fluidos. En el mundo se están usando miles de millones de bombas y turbinas y miles de compañías investigan para mejorar sus diseños. En este capítulo se han estudiado los dispositivos de desplazamiento positivo y, con más detalle, las máquinas rotodinámicas. Tomando como ejemplo la bomba centrífuga, se han desarrollado los conceptos de par, potencia, carga, caudal y rendimiento para una turbomáquina. Del análisis dimensional se obtienen las reglas de semejanza y algunas curvas características adimensionales para dispositivos centrífugos y axiales. El parámetro simple más útil de las bombas es la velocidad específica, que permite apuntar el tipo de diseño que se requiere. Una aplicación interesante es la teoría de la combinación de bombas en serie y en paralelo. Las turbinas extraen energía de los fluidos en movimiento y pueden ser de dos tipos: turbinas de impulso, que convierten la cantidad de movimiento en una corriente a gran velocidad, y las turbinas de reacción, donde la caída de presión ocurre en el flujo interior a los álabes. Por analogía con las bombas, la velocidad específica es un parámetro fundamental en las turbinas y se emplea para clasificarlas en turbinas de impulso, Francis y diseños tipo hélice. Un caso especial de turbinas de reacción con flujo libre son los aerogeneradores. Se han discutido distintos tipos de aerogeneradores, comparando sus actuaciones.

Problemas La mayoría de los problemas propuestos aquí son bastante sencillos. Los más difíciles, o de final abierto, se indican con un asterisco. Para resolver los problemas señalados con un icono EES se recomienda el uso del Resolvedor de Ecuaciones de Ingeniería (EES, Engineering Equation Solver), mientras que los problemas señalados con un disquete pueden requerir el uso de un ordenador. Los problemas estándar de final de capítulo P11.1 a P11.103 (ordenados por temas en la lista de abajo) están seguidos por los problemas conceptuales C11.1 a C11.10, los problemas extensos PE11.1 a PE11.6 y el proyecto de diseño D11.1.

P11.1

P11.2

P11.3 Distribución de los problemas Sección 11.1 11.2 11.3 11.3 11.4 11.5 11.5 11.5 11.6 11.6

Tema

Problemas

Introducción y clasificación P11.1-P11.14 Teoría de bombas centrífugas P11.15-P11.21 Actuaciones de bombas y reglas de semejanza P11.22-P11.41 Carga neta de succión positiva P11.42-P11.44 Velocidad específica: bombas helicocentrífugas y axiales P11.45-P11.62 Acoplamiento de bombas a redes P11.63-P11.73 Bombas en paralelo o en serie P11.74-P11.81 Inestabilidades en bombas P11.82-P11.83 Turbinas de reacción e impulso P11.84-P11.99 Aerogeneradores P11.100-P11.103

P11.4

P11.5 P11.6

Describa la geometría y funcionamiento de la bomba peristáltica de desplazamiento positivo (PDP) por excelencia del cuerpo humano. ¿En qué se diferencian ambos ventrículos? ¿Cuál debería ser la clasificación técnica de las siguientes turbomáquinas: (a) un ventilador de una vivienda, (b) un molino de viento, (c) la hélice de un avión, (d) la bomba de combustible de un coche, (e) un eyector, (f) una transmisión hidráulica y (g) la turbina de vapor de una planta de potencia? Una PDP puede bombear casi todo tipo de fluidos, pero siempre existe un límite con viscosidades muy altas para las que su rendimiento se reduce. ¿Podría explicar cuál es la razón probable? Una interesante turbomáquina es el convertidor de par, que combina una bomba con una turbina para cambiar el par transmitido entre dos ejes. Realice un proyecto sobre este concepto y descríbalo a la clase mediante un informe, esquemas y datos de sus actuaciones. ¿Qué tipo de bomba es la mostrada en la Figura P11.5? ¿Cómo funciona? En la Figura P11.6 se presentan dos puntos separados medio periodo durante la operación de una bomba.

770

MECÁNICA DE FLUIDOS

Flujo de salida

P11.5

Flujo de entrada

¿De qué tipo de bomba se trata [13]? ¿Cómo funciona? Dibuje una estimación del caudal en función del tiempo durante unos pocos ciclos.

Válvula

100

60 40 95

35 bar 70 bar 140 bar 210 bar

20 0

76 57 38

60 45

Desplazamiento bomba: 41 cm3/r

210 bar 140 bar 70 bar 35 bar

Caudal, L/min

Rendimiento total, porcentaje

210 bar - 3000 lb/in2 140 bar - 2000 lb/in2 70 bar - 1000 lb/in2 35 bar - 500 lb/in2

210 bar 140 bar 70 bar 35 bar

Eficiencia volumétrica, porcentaje

P11.6

100

Potencia consumida, kW

Flujo de entrada

30 15

500

1000 Velocidad, rpm

1500

2000

P11.9. Actuaciones de la bomba de pistón modelo PVQ40 usada con aceite SAE 10W a 180 °F. (Cortesía de Vickers Inc., PDN/PACE Division.)

TURBOMÁQUINAS

P11.7

Un pistón PDP tiene 5 in de diámetro, una carrera de 2 in y opera a 750 rpm con un 92 por 100 de rendimiento volumétrico. (a) ¿Cuál es su caudal en galones por minuto? (b) Si la bomba funciona con aceite SAE 10W a 20 °C con una carga de 50 ft, ¿qué potencia se requiere cuando el rendimiento medio es del 84 por 100? P11.8 Una bomba centrífuga proporciona 550 gal/min de agua a 20 °C con un consumo de potencia de 22 hp y un rendimiento del 71 por 100. (a) Estime el aumento de carga en pies y el incremento de presión en libras fuerza por pulgada cuadrada. (b) Estime también el aumento de carga y la potencia si se proporcionan 550 gal/min de gasolina a 20 °C. P11.9 En la Figura P11.9 se muestran las curvas características medidas de una bomba de pistón modelo Vickers PVQ40 que trabaja con aceite SAE 10W a 180 °F (ρ 5 910 kg/m3). Realice observaciones generales de estos datos comparándolos con los de la Figura 11.2 y comente las principales características de funcionamiento de las bombas de pistón. P11.10 Supongamos que la bomba de la Figura P11.9 está funcionando a 1100 rpm con un aumento de presión de 210 bar. (a) Empleando el desplazamiento medido, estime el caudal producido en galones por minuto. Estime, a partir del gráfico, (b) el caudal real y (c) el rendimiento medio. P11.11 Una bomba proporciona 1500 l/min de agua a 20 °C con un incremento de presión de 270 kPa. El cambio de energía cinética y potencial es despreciable. Si el motor proporciona una potencia de 9 kW, ¿cuál es el rendimiento medio? P11.12 En los ensayos de la bomba centrífuga de la Figura P11.12 se toman los siguientes datos: p1 = 100 mmHg (absoluta) y p2 = 500 mmHg (manométrica). Los conductos tienen diámetros D1 = 12 cm y D2 = 5 cm. El caudal es de 180 gal/min de aceite ligero (S = 0,91). Estime (a) la altura manométrica producida en metros y (b) la potencia de entrada requerida con un rendimiento del 75 por 100. (2)

771

P11.15 Un aspersor se puede emplear como una turbina simple. Según se muestra en la Figura P11.15, el flujo entra en el centro con dirección normal al papel y se separa en dos chorros con Q/2 y Vrel que abandonan las tuberías. Los brazos giran a una velocidad angular ω y transmiten su trabajo a un eje. Dibuje el diagrama de velocidades de esta turbina. Despreciando el efecto de la fricción, escriba una expresión para la potencia transmitida al eje. Encuentre la velocidad de rotación para la que la potencia es máxima. Q, V rel 2 R

ω Q, V rel 2

P11.15

P11.16 Para la «turbina aspersor» de la Figura P11.15, sea R = 18 cm, con un caudal total de 14 m3/h de agua a 20 °C. Si el diámetro de la tobera de salida es de 8 mm, estime (a) la máxima potencia producida en watios y (b) la velocidad de rotación adecuada en revoluciones por minuto. P11.17 Una bomba centrífuga tiene d1 = 7 in, d2 = 13 in, b1 = 4 in, b2 = 3 in, β1 = 25°, β2 = 40° y gira a 1160 rpm. Si el fluido de trabajo es gasolina a 20 °C y el flujo entra radialmente sobre los álabes, estime teóricamente (a) el caudal en galones por minuto, (b) la potencia en caballos y (c) la altura manométrica en pies. P11.18 Un chorro con velocidad V incide sobre una paleta que se mueve hacia la derecha con velocidad Vc, como se mestra en la Figura P11.18. La paleta está doblada con un ángulo θ. Obtenga una expresión para la potencia producida. ¿Cuál es la velocidad de la paleta para la que la potencia es máxima?

65 cm

ρ , V, A

(1)

P11.12

P11.13 Una bomba de 20 hp proporciona 400 gal/min de gasolina a 20 °C con un rendimiento del 75 por 100. ¿Qué altura manométrica e incremento de presión se producen a través de la bomba? P11.14 Una bomba proporciona gasolina a 20 °C y 12 m3/h. En la entrada p1 = 100 kPa, z1 = 1 m y V1 = 2 m/s. En la salida p2 = 500 kPa, z2 = 4 m y V2 = 3 m/s. ¿Cuánta potencia se requiere si el rendimiento del motor es del 75 por 100?

P11.18

P11.19 Una bomba centrífuga tiene r2 = 9 in, b2 = 2 in, β2 = 35° y gira a 1060 rpm. Si produce una altura manométrica de 180 ft, determine teóricamente (a) el caudal en galones por minuto y (b) la potencia en caballos. Asuma que el flujo entra radialmente. P11.20 Supongamos que en el Problema P11.19 se da la potencia teórica Pw 5 153 hp. ¿Es posible calcular (a) el

772

MECÁNICA DE FLUIDOS

caudal y (b) la altura manométrica? Resuelva el problema explicando las posibles complicaciones. P11.21 La bomba centrífuga de la Figura P11.21 proporciona un caudal de 4200 gal/min de gasolina a 20 °C con un flujo de entrada casi radial. Estime teóricamente (a) la potencia en caballos, (b) el aumento de la altura manométrica y (c) el ángulo más apropiado de los álabes en el interior del rotor. 2 in 4 in

3 in

P11.21

P11.22 Una bomba centrífuga de 37 cm de diámetro funcionando a 2140 rpm con agua a 20 °C proporciona las siguientes actuaciones:

0,0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

030

H, m

105

104

102

100

P, kW

100

115

135

171

202

228

249

(a) Determine el punto de máximo rendimiento. (b) Represente CH frente a CQ. (c) Si se desea emplear esta familia de bombas para proporcionar 7000 gal/min de queroseno a 20 °C con una potencia de entrada de 400 kW, ¿cuál sería la velocidad de la bomba en revoluciones por minuto y el tamaño del rotor en centímetros? ¿Qué altura manométrica proporcionaría? P11.23 Si la bomba de 38 in de diámetro de la Figura 11.7b se usa para proporcionar queroseno a 20 °C a 850 rpm y 22.000 gal/min, ¿qué (a) altura manométrica y (b) potencia al freno podría proporcionar? P11.24 La Figura P11.24 presenta las curvas características para la bomba Taco, Inc., modelo 4013. Calcule la relación entre la altura manométrica con caudal nulo y su valor ideal U2/g para los siete tamaños de rotor. Determine la media y la desviación típica de esta relación y compare la media con la de los seis rotores de la Figura 11.7. P11.25 ¿A qué velocidad, en revoluciones por minuto, debería funcionar la bomba de 35 in de diámetro de la Figu-

30° 1750 rpm

Q, m3/s

100

45 L/s

50 30

6 NPSH, ft

50%

12,95 in

60% 65%

70%

74% 76%

78%

25 79%

12,50 in

80% 79% 78%

11,50 in 60

11,00 in

20 76% 74%

Carga, m

Carga, ft

12,00 in

70% 10,50 in

65%

10,00 in

60%

40 Pf = 5 hp

10 50%

10 hp

7,5 hp

Curvas basadas en agua limpia con densidad relativa 1,0

0 0

100

200

300

400 Caudal, gal/min

500

600

700

P11.24. Actuaciones de una bomba centrífuga. (Cortesía de Taco, Inc., Cranston, Rhode Island.)

0 800

773

TURBOMÁQUINAS

ra 11.7b para producir una altura manométrica de 400 ft con un caudal de 20.000 gal/min? ¿Qué potencia al freno en caballos se requeriría? Consejo: ajuste H(Q) mediante una ecuación. P11.26 Determine si las curvas características de los siete tamaños de bombas Taco, Inc., representadas en la Figura P11.24 pueden representarse mediante un único diagrama adimensional de CH, CP y η en función de CQ, como el de la Figura 11.8. Comente los resultados. P11.27 La bomba de 12 in de la Figura P11.24 se aumenta de tamaño para producir una altura manométrica de 90 ft y un caudal de 1000 gal/min en el PMR. Determine los valores de (a) el diámetro del rotor, (b) la velocidad en revoluciones por minuto y (c) la potencia requerida, en caballos. P11.28 El ensayo realizado por Byron Jackson Co. sobre una bomba centrífuga de agua de 14,62 in de diámetro que trabaja a 2134 rpm arroja los siguientes resultados:

C*Q, C*H y C*P en el PMR y compárelos con las Ecuaciones (11.27). (c) ¿Para qué velocidad la bomba tendría una altura manométrica de 280 ft en el PMR? P11.33 Para las bombas de la familia de los Problemas P11.31 y P11.32, encuentre (a) el diámetro y (b) la velocidad de rotación que, en el PMR, permiten obtener un caudal de 5300 gal/min con una carga de 210 ft. (c) ¿Cuál es la potencia necesaria en caballos? P11.34 Se considera una bomba geométricamente semejante a la bomba Taco de 9 in de diámetro de la Figura P11.34 para producir 1200 gal/min a 1500 rpm. Determine (a) el diámetro del rotor adecuado, (b) la potencia en el PMR, (c) la altura manométrica con caudal nulo y (d) el rendimiento máximo. El fluido empleado es queroseno, no agua. P11.35 Una bomba centrífuga de 18 in de diámetro, que funciona a 880 rpm con agua a 20 °C, tiene las siguientes actuaciones:

Q, ft3/s

Q, gal/min

0,0

2000

4000

6000

8000

10.000

H, ft

340

330

300

220

H, ft

Pf, hp

135

160

205

255

330

Pf, hp

100

112

130

143

156

163

¿Cuál es el PMR? ¿Cuál es la velocidad específica? Estime el máximo caudal posible. P11.29 Si se aplican las leyes de semejanza dimensional a la bomba del Problema P11.28 para el mismo diámetro del rotor, determine (a) la velocidad para la que la altura manométrica con caudal nulo es de 280 ft, (b) la velocidad para la que el PMR tiene un caudal de 8,0 ft3/s y (c) la velocidad para la que el PMR requiere una potencia de 80 hp. P11.30 Una bomba de la misma familia que la del Problema P11.28 tiene un diámetro D = 18 in y una potencia en el PMR de 250 hp con gasolina (no agua). Empleando las leyes de escalado, estime (a) la velocidad resultante en revoluciones por minuto, (b) el caudal en el PMR y (c) la presión manométrica con caudal nulo. P11.31 Una bomba centrífuga con los álabes curvados hacia atrás presenta las siguientes actuaciones ensayadas con agua a 20 °C:

Determine (a) el PMR, (b) el rendimiento máximo y (c) la velocidad específica. (d) Represente la potencia requerida como función del caudal. P11.36 Represente las curvas características para la bomba del Problema P11.35 y compárelas con las de la Figura 11.8. Encuentre el diámetro apropiado en pulgadas y la velocidad en revoluciones por minuto para producir 400 gal/min con una carga de 200 ft. ¿Cuál es la potencia requerida en caballos? P11.37 Sabiendo que la bomba del Problema P11.35 tiene el PMR cuando Q = 8000 gal/min, emplee las reglas de semejanza para encontrar (a) el diámetro del rotor adecuado, (b) la velocidad de rotación y (c) la altura manométrica producida por una bomba de la misma familia que proporcione 1000 gal/min con 12 hp de potencia. P11.38 Una bomba de 6,85 in, girando a 3500 rpm, tiene las siguientes actuaciones, medidas con agua a 20 °C:

Q, gal/min

100

150

200

250

300

350

400

450

400

800

1200

1600

2000

2400

H, ft

123

115

108

101

H, ft

201

200

198

194

189

181

169

156

139

Pf, hp

η, %

(a) Estime el punto de mayor rendimiento y su valor correspondiente. (b) Estime el caudal y la potencia correspondientes al PMR si el diámetro se multiplica por dos y la velocidad de rotación se incrementa en un 50 por 100. P11.32 Los datos del Problema P11.31 corresponden a una bomba que gira a una velocidad de 1200 rpm. (¿Por qué fue posible resolver el Problema P11.31 sin este dato?) (a) Estime el diámetro del rotor. (Consejo: véase el Problema P11.24). (b) Empleando la estimación obtenida en el apartado (a), calcule los parámetros

(a) Estime la potencia en caballos para el PMR. Si se reescala la bomba para proporcionar 20 hp a 3000 rpm, determine (b) el diámetro del rotor necesario, (c) el caudal y (d) el rendimiento en esta nueva condición. P11.39 El compresor centrífugo Allis-Chalmers D30LR proporciona 33.000 ft3/min de SO2 con un cambio de presión de 14,0 a 18,0 lbf/in2 mediante un motor de 800 hp a 3550 rpm. ¿Cuál es el rendimiento medio? ¿Cuál es el caudal y el salto de presiones ∆p cuando funciona a 3000 rpm? Estime el diámetro del rotor.

774

MECÁNICA DE FLUIDOS

140

60 16

70 L/s 18

NPSH, ft 50% 120 10,40 in

60% 65%

70% 74% 78%

80%

82%

10,00 in

Carga, ft

82%

30 80%

9,00 in

78% 76%

74%

80 8,50 in

Carga, m

83% 100 9,50 in

70% 8,00 in 65%

7,70 in

60%

30 hp 15 25 hp 40

Pf = 10 hp

Curvas basadas en agua limpia con densidad relativa 1,0

20 hp 50%

125

250

375

500

625 Caudal, gal/min

750

875

15 hp 1000

1125

1250

P11.34. Actuaciones de una familia de bombas centrífugas. (Cortesía de Taco, Inc., Cranston, Rhode Island.)

P11.40 Según se define en la Ecuación (11.30), la velocidad específica Ns no contiene el diámetro del rotor. ¿Cuál será el tamaño de una bomba para un Ns dado? Logan [7] sugiere un parámetro denominado diámetro específico Ds, que es una combinación adimensional de Q, gH y D. (a) Si Ds es proporcional a D, determine su forma. (b) ¿Cuál es la relación, si es que existe, de Ds con CQ*, CH* y CP*? (c) Estime Ds para las dos bombas de las Figuras 11.8 y 11.13. P11.41 Se desea construir una bomba centrífuga geométricamente semejante a la del Problema P11.28 para proporcionar 6500 gal/min de gasolina a 20 °C a 1060 rpm. Estime (a) el diámetro del rotor resultante, (b) la altura manométrica, (c) la potencia al freno y (d) el rendimiento máximo. P11.42 Una bomba de 8 in que proporciona 180 °F de agua a 800 gal/min y 2400 rpm comienza a cavitar cuando la presión y la velocidad en la entrada son, respectivamente, 12 lbf/in2 y 20 ft/s. Encuentre la NPSH requerida para un prototipo que es cuatro veces mayor y funciona a 1000 rpm. P11.43 La bomba de 28 in de diámetro de la Figura 11.7a funciona a 1170 rpm y es usada para bombear agua a 20 °C a través de un sistema de tuberías a 14.000 gal/min. (a) Determine la potencia requerida si el coeficiente de fricción es 0,018. (b) Si hay 65 ft de con-

ducto de 12 in de diámetro aguas arriba de la bomba, ¿a qué profundidad por debajo de la superficie debería estar la entrada de la bomba para evitar la cavitación? P11.44 La bomba del Problema P11.28 se reescala a 18 in de diámetro para operar con agua a 1760 rpm en el punto de máximo rendimiento. La NPSH medida es de 16 ft y las pérdidas de fricción entre la entrada y la bomba son de 22 ft. ¿Se producirá cavitación si la entrada de la bomba está situada 9 ft por debajo del nivel del depósito? P11.45 Determine la velocidad específica de las siete bombas Taco, Inc., de la Figura P11.24. ¿Son apropiadas para diseños centrífugos? ¿Son aproximadamente iguales, teniendo en cuenta la incertidumbre experimental? Si no es así, ¿por qué no? P11.46 La respuesta al Problema P11.40 es que el «diámetro específico» adimensional toma la forma D s = D(gH*)1/4/Q*1/2, evaluado en el PMR. En la Figura P11.46 se presentan los datos recopilados por el autor para 30 bombas diferentes, que indican que Ds está correlacionado con la velocidad específica Ns. Emplee esta figura para estimar el diámetro del rotor adecuado para una bomba que proporciona 20.000 gal/min de agua con una altura manométrica de 400 ft cuando gira a 1200 rpm. Sugiera una fórmula de ajuste para los cálculos. Consejo: pruebe con una fórmula hiperbólica.

TURBOMÁQUINAS

20 18 16 14 12 Ds 10 8 6 4 2 0

Datos de 30 bombas diferentes

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

2 1,8 1,6 1,4 1,2 C* 1 P 0,8 0,6 0,4 0,2 0

775

Datos de 30 bombas diferentes

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

P11.46. Diámetro específico en el PMR para 30 bombas comerciales.

P11.50. Coeficiente de potencia en el PMR para 30 bombas comerciales.

P11.47 Una bomba casera típica para el desagüe de sótanos proporciona un caudal de 5 gal/min con una altura manométrica de 15 ft. Estime (a) el rendimiento máximo y (b) la potencia mínima requerida para el funcionamiento de la bomba a 1750 rpm. P11.48 Una bomba opera a 42 rev/s ceca del PMR proporcionando 0,06 m3/s con una altura manométrica de 100 m. (a) ¿Cuál es su velocidad específica? (b) ¿De qué clase parece ser esta bomba? (c) Estime el diámetro del rotor. P11.49 En la Figura P11.49 se representan los valores del coeficiente adimensional de caudal en el PMR en función de la velocidad específica, recopilados por el autor a partir de 30 bombas diferentes. Determine si los valores de CQ* para las tres bombas de los Problemas P11.28, P11.35 y P11.38 se ajustan también a la correlación. En ese caso, sugiera una fórmula que ajuste los datos.

P11.51 Un ventilador de flujo axial proporciona 40 ft3/s de aire que entran a 20 °C y 1 atm. El paso por el que circula tiene un radio exterior de 10 in y un radio interior de 8 in. Los ángulos de los álabes son α1 = 60° y β2 = 70° y el rotor gira a 1800 rpm. Calcule, para la primera etapa, (a) el incremento de altura manométrica y (b) la potencia requerida. P11.52 Un ventilador axial funciona con aire a nivel del mar a 1200 rpm y tiene un diámetro en la punta del álabe de 1 m y un diámetro en la raíz de 80 cm. Los ángulos en la entrada son α1 = 55° y β1 = 30°, mientras que en la salida β2 = 60°. Estime los valores teóricos de (a) el caudal, (b) la potencia y (c) el ángulo en la salida α2. P11.53 Si la bomba axial de la Figura 11.13 se emplea para producir 70.000 gal/min de agua a 20 °C a 1170 rpm, estime (a) el diámetro del rotor adecuado, (b) la altura manométrica para caudal nulo, (c) la potencia para caudal nulo y (d) ∆p al rendimiento máximo. P11.54 El acueducto del río Colorado emplea bombas Worthington Corp. que proporcionan 200 ft3/s a 450 rpm con una altura manométrica de 440 ft. ¿De qué tipo de bombas se trata? Estime el diámetro del rotor. P11.55 Se quiere bombear agua a 70 °C a 20.000 gal/min y 1800 rpm. Estime el tipo de bomba, la potencia requerida y el diámetro del rotor si se desea elevar la presión en una etapa hasta (a) 170 kPa y (b) 1350 kPa. P11.56 Se quieren bombear 40.000 gal/min de gasolina a 20 °C con una altura manométrica de 90 ft. Encuentre el tamaño del rotor, la velocidad y la potencia necesaria para emplear la familia de bombas (a) de la Figura 11.8 y (b) de la Figura 11.13. ¿Cuál es el mejor diseño? P11.57 Las actuaciones de un ventilador de aire de 21 in de diámetro a 3550 rpm son las siguientes:

0,400 0,350

Datos de 30 bombas diferentes

0,300 0,250 C* 0,200 Q 0,150 0,100 0,050 0,000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

P11.49. Coeficiente de caudal en el PMR para 30 bombas comerciales.

P11.50 En la Figura P11.50 se representan los valores del coeficiente adimensional de potencia en el PMR en función de la velocidad específica, recopilados por el autor a partir de 30 bombas diferentes. Determine si los valores de CP* para las cinco bombas dadas en el Problema P11.48 también se ajustan a esta correlación. En ese caso, sugiera una fórmula que ajuste los datos.

∆p, in H2O

Q, ft3/min

500

1000

2000

3000

4000

Observe que la expresión ficticia del aumento de presión se da en términos de agua en lugar de aire. ¿Cuál es la velocidad específica? ¿Cómo se comparan las

776

P11.58

P11.59

P11.60

P11.61

P11.62

P11.63

P11.64

P11.65

P11.66

MECÁNICA DE FLUIDOS

actuaciones con las de la Figura 11.8? ¿Cuáles son los valores de C*Q, C*H, y C*P? La bomba de agua de Worthington Corp. modelo A12251, funcionando con el máximo rendimiento, produce 53 ft de altura manométrica a 3500 rpm, 1,1 hp a 3200 rpm y 60 gal/min a 2940 rpm. ¿De qué tipo de bomba se trata? ¿Cuál es su rendimiento y cómo se compara con la Figura 11.14? Estime el diámetro del rotor. Se desea proporcionar 700 ft3/min de gas propano (de peso molecular = 44,06) a 1 atm y 20 °C con un incremento de presión de 8,0 in H2O en una sola etapa. Determine el tamaño y la velocidad apropiados para emplear las bombas de la familia de (a) el Problema P11.57 y (b) la Figura 11.13. ¿Cuál es el mejor diseño? Se desea emplear una bomba de 45 hp para generar una altura manométrica de 200 ft cuando funciona en el PMR con gasolina a 20 °C y girando a 1200 rpm. Empleando las correlaciones de las Figuras P11.49 y P11.50, determine (a) la velocidad específica apropiada, (b) el caudal y (c) el diámetro del rotor. El ventilador de acondicionamiento de una mina proporciona 500 m3/s de aire a nivel del mar cuando gira a 295 rpm, con un incremento de presión de 1100 Pa. ¿Es el ventilador axial, centrífugo o helicocentrífugo? Estime su diámetro en ft. Si el caudal se incrementa en un 50 por 100 para el mismo diámetro, ¿en qué porcentaje cambia el aumento de presión? El ventilador real discutido en el Problema P11.61 tenía un diámetro de 20 ft [Ref. 20, pág. 339]. ¿Cuál sería el diámetro adecuado para que la familia de bombas de la Figura 11.14 proporcionara 500 m3/s a 295 rpm y en el PMR? ¿Cuál sería el aumento de presión resultante en pascales? La bomba de 36,75 in de la Figura 11.7a a 1170 rpm se emplea para bombear agua a 60 °F de un depósito situado a 1000 ft mediante un conducto de 12 in de diámetro interior hasta un punto situado a 200 ft sobre la superficie del depósito. ¿Cuáles son el caudal y la potencia resultantes? Si hay 40 ft de conducto aguas arriba de la bomba, ¿a qué profundidad por debajo de la superficie del depósito debería estar la entrada de la bomba para evitar la cavitación? Un ventilador de láminas es esencialmente un rotor centrífugo que descarga a un tubo. Suponga que el tubo es de PVC liso, de 4 ft de largo y con un diámetro de 2,5 in. La velocidad de salida que se desea es de 73 mi/h en aire estándar a nivel del mar. Haciendo uso de la familia de bombas de las Ecuaciones (11.27) para mover el ventilador, calcule aproximadamente (a) el diámetro y (b) la velocidad de rotación apropiados. (c) ¿Es un buen diseño? La bomba de 38 in de la Figura 11.7a se emplea en serie para bombear agua a 20 °C a una altura de 3000 ft a través de 4000 ft de un conducto de hierro fundido de 18 in de diámetro interior. Para mejorar su funcionamiento, ¿cuántas bombas en serie son necesarias si la velocidad de rotación es de (a) 710 rpm y (b) 1200 rpm? Se propone emplear la bomba del Problema P11.35 a 880 rpm para bombear agua a 20 °C a través del siste-

ma de la Figura P11.66. El conducto está fabricado con acero comercial de 20 cm de diámetro. ¿Qué caudal en pies cúbicos por minuto resultará? ¿Es una aplicación eficiente?

3m Bomba 8m

20 m

12 m

P11.66

P11.67 La bomba del Problema P11.35 gira a 880 rpm para bombear agua a 20 °C a través de 75 m de un conducto horizontal de hierro galvanizado. El resto de las pérdidas del sistema se consideran despreciables. Determine el caudal y la potencia de entrada para (a) un conducto con diámetro D = 20 cm y (b) el diámetro que permite obtener la máxima eficiencia de funcionamiento de la bomba. P11.68 Supongamos que se emplea la bomba de flujo axial de la Figura 11.13 para mover el ventilador de hojas del Problema P11.64. Calcule aproximadamente (a) el diámetro y (b) la velocidad de giro apropiadas. (c) ¿Es un buen diseño? P11.69 La bomba del Problema P11.38, cuando gira a 3500 rpm, se emplea para mover agua a 20 °C a través de 600 ft de tubería de hierro fundido hasta una altura de 100 ft. Determine (a) el diámetro del conducto adecuado para operar en el PMR y (b) el caudal resultante si el diámetro del conducto es de 3 in. P11.70 La bomba del Problema P11.28, cuando gira a 2134 rpm, se emplea para mover agua a 20 °C en el sistema de la Figura P11.70. (a) Si está operando en el PMR, ¿cuál es la elevación z2? (b) Si z2 = 225 ft, ¿cuál es el caudal si d = 8 in? z2 z1 = 100 ft

Bomba

1500 ft de tubería de hierro fundido

P11.70

P11.71 La bomba del Problema P11.38, cuando funciona a 3500 rpm, mueve agua a 20 °C a través de 7200 ft de un conducto horizontal de acero comercial de 5 in de diámetro. El circuito tiene entrada y salida abruptas, cuatro codos de 90° y una válvula de compuerta. Estime (a) el caudal si la bomba está completamente abierta y (b) el porcentaje de apertura de la válvula que permite que la bomba opere en el PMR. (c) Si la condición anterior se mantiene continuamente durante un año, estime el coste de energía si la tarifa es 10 ¢/kWh.

TURBOMÁQUINAS

P11.72 Las actuaciones de una pequeña bomba comercial son las siguientes: P11.79 Q, gal/min

H, ft

Esta bomba proporciona agua a 20°C a una manguera horizontal de 58 in de diámetro (ε 5 0,01 in) que tiene una longitud de 50 ft. Estime (a) el caudal y (b) el diámetro de la manguera que haría que la bomba operase en el PMR. P11.73 La bomba de pistón de la Figura P11.9 funciona a 1500 rpm para mover aceite SAE 10W a través de un conducto vertical de 100 m de acero forjado de 2 cm de diámetro. Si se desprecian las otras pérdidas del sistema, estime (a) el caudal, (b) el incremento de presiones y (c) la potencia requerida. P11.74 La bomba de 32 in de la Figura 11.7a se emplea a 1170 rpm en un sistema cuya curva de carga es Hs (ft) = 100 + 1,5 Q2, con Q en miles de galones de agua por minuto. Encuentre el caudal y la potencia al freno requeridos para (a) una bomba, (b) dos bombas en paralelo y (c) dos bombas en serie. ¿Cuál es la mejor configuración? P11.75 Las dos bombas de 35 in de la Figura 11.7b están instaladas en paralelo en el sistema de la Figura P11.75. Despreciando las otras pérdidas para agua a 20 °C, estime el caudal y la potencia requerida si (a) ambas bombas están funcionando y (b) una bomba está parada y la otra funcionando.

P11.80

P11.81

P11.82

777

¿cuál es el diámetro del conducto que se requiere para que funcionen en el PMR? Las dos bombas de 32 in de la Figura 11.7a van a ser colocadas en serie a 1170 rpm para subir agua mediante un conducto vertical de 500 ft de hierro fundido. ¿Cuál debería ser el diámetro del conducto para el funcionamiento más eficiente? Desprecie las pérdidas menores. Se propone emplear en paralelo una bomba de 32 in y otra de 28 in de las de la Figura 11.7a para mover agua a 60 °F. La curva de carga del sistema es Hs = 50 + 0,3 Q2, con Q en miles de galones por minuto. ¿Cuál será la altura manométrica y el caudal si ambas bombas funcionan a 1170 rpm? Si la bomba de 28 in reduce su velocidad por debajo de 1170 rpm, ¿a qué velocidad dejará de bombear? Reconsidere el sistema de la Figura P6.62. Emplee la bomba Byron Jackson del Problema P11.28 funcionando a 2134 rpm, sin escalar, para bombear el fluido. Determine el caudal entre los depósitos. ¿Cuál es la bomba más eficiente? La curva en S de carga en función del caudal de la Figura P11.82 representa el funcionamiento de una bomba axial determinada. Explique cómo una curva de estas características podría producir inestabilidades en el flujo. ¿Cómo se podría evitar esta inestabilidad?

H z2 = 300 ft

P11.82

1 milla de conductos de hierro, fundido de 24 in diám.

z 1 = 200 ft

Dos bombas

P11.75

P11.76 Las dos bombas de 32 in de la Figura 11.7a están combinadas en paralelo para mover agua a 60 °F a través de 1500 ft de conducto horizontal. Si ƒ = 0,025, ¿cuál es el diámetro del conducto que asegura un caudal de 35.000 gal/min para n = 1170 rpm? P11.77 Dos bombas del tipo de las ensayadas en el Problema P11.22 se quieren emplear a 2140 rpm para bombear verticalmente agua a 20 °C mediante un conducto de 100 m de acero comercial. ¿Deberían estar en serie o en paralelo? ¿Cuál es el diámetro adecuado para el funcionamiento más eficiente? P11.78 Suponiendo que las dos bombas de la Figura P11.75 se modifican para estar en serie funcionando a 710 rpm,

P11.83 La curva de carga en función de caudal de la Figura P11.83 es característica de una bomba determinada. Explique cómo una curva de estas características podría producir inestabilidades en el funcionamiento de la bomba. ¿Qué problemas adicionales podrían producirse cuando las dos bombas están en paralelo? ¿Cómo podría evitarse esta inestabilidad?

P11.83

778

MECÁNICA DE FLUIDOS

P11.84 Cierto número de turbinas se van a instalar de forma que la altura manométrica total sea de 400 ft y el flujo de 250.000 gal/min. Discuta el tipo, número y tamaño de la turbina que debe seleccionarse si el generador seleccionado es de (a) 48 polos, 60 ciclos (n = 150 rpm) y (b) 8 polos (n = 900 rpm). ¿Por qué son deseables al menos dos turbinas desde el punto de vista de la planificación? P11.85 Las turbinas de la planta Conowingo, en el río Susquehanna, proporcionan 54.000 hp a 82 rpm con una carga de 89 ft. ¿De qué tipo son estas turbinas? Estime el caudal y el diámetro del rotor. P11.86 La planta hidroeléctrica de Tupperware, en el río Blackstone, tiene cuatro turbinas de 36 in de diámetro, cada una de las cuales proporciona 447 kW a 200 rpm y 205 ft3/s con una carga de 30 ft. ¿De qué tipo de turbinas se trata? ¿Cuál es su rendimiento en comparación con las de la Figura 11.21? P11.87 En la Figura P11.87 se presenta una turbina radial ideal. El flujo entra a 30° y sale radialmente de su interior. El caudal es de 3,5 m3/s de agua a 20 °C. La anchura de los álabes es de 10 cm. Calcule la potencia teórica obtenida.

30°

b = 10 cm

40 cm

135 rpm

70 cm

P11.87

P11.88 Las actuaciones de una pequeña turbina de agua (D = 8,25 cm), que opera con una altura manométrica de 49 ft, son las siguientes: Q, m3/h

18,7

18,5

18,3

17,6

16,7

15,1

11,5

RPM

500

1000

1500

2000

2500

3000 3500

14%

27%

38%

50%

65%

61%

11%

(a) ¿De qué tipo de turbina parece tratase? (b) ¿Por qué estos datos son tan diferentes a los datos adimensionales presentados en la Figura 11.21d? Suponga que se desea emplear una turbina geométricamente semejante con una altura manométrica de 150 ft y un caudal de 6,7 ft3/s. Estime (c) el diámetro de la turbina, (d) la velocidad de rotación y (e) la potencia en las condiciones de mayor rendimiento. P11.89 Una turbina Pelton de 12 ft de diámetro opera con una altura manométrica de 2000 ft. Estime la velocidad, potencia de salida y caudal en las condiciones de ma-

yor rendimiento si el diámetro de salida de la tobera es de 4 in. P11.90 En la Figura P11.90 se muestra una turbina radial ideal. El flujo entra formando 25° con el ángulo de los álabes, según se muestra. El caudal es de 8 m3/s de agua a 20 °C. La anchura de los álabes es de 20 cm. Calcule la potencia teórica producida. W2 35° V2 25°

b = 20 cm 0,8 m 30°

1,2 m

W1 80 rpm

P11.90

P11.91 El flujo a través de una turbina axial se puede idealizar modificando los diagramas de rotor y estátor de la Figura 11.12 para la absorción de energía. Esquematice una configuración adecuada de flujo y álabes y los correspondientes diagramas de velocidades. Para más detalles, véase el Capítulo 8 de la Referencia 25. P11.92 Se está construyendo una presa en un río para instalar en ella una turbina hidráulica. El caudal es de 1500 m3/h, la altura manométrica disponible es de 24 m y la velocidad de la turbina será de 480 rpm. Estime el tamaño de la turbina y la factibilidad de emplear (a) una turbina Francis y (b) una turbina Pelton. P11.93 La Figura P11.93 muestra la sección transversal de una turbina «Banki» o de flujo cruzado [55], que se asemeja a una jaula de ardilla con álabes curvos ranurados. El flujo entra a las 2 en punto, pasa a través del centro para ser conducido hacia los álabes, abandonando la turbina a las 8 en punto. Muestre a la clase el funcionamiento de este diseño y sus ventajas, así como un diagrama vectorial de velocidades idealizado. P11.94 La turbina helicocentrífuga de la Figura P11.93 fue construida y ensayada en la Universidad de Rhode Island. Los álabes están fabricados con un tubo de PVC cortado longitudinalmente en tres piezas de 120°. Cuando fue ensayada en agua con una altura manométrica de 5,3 ft y un caudal de 630 gal/min, la potencia medida fue de 0,6 hp. Estime (a) el rendimiento y (b) la velocidad específica si n = 200 rpm. P11.95 Se puede hacer una estimación teórica del diámetro del salto hidráulico de la instalación de una turbina de impulso como la de la Figura P11.95. Suponga que L y H son conocidos y que las actuaciones de la turbina se pueden idealizar mediante las Ecuaciones (11.38) y (11.39). Tenga en cuenta las pérdidas de hƒ debido a la fricción en el salto, pero desprecie el resto de las pérdidas. Demuestre que (a) la potencia máxima se genera cuando hƒ = H/3, (b) la velocidad óptima del chorro

779

TURBOMÁQUINAS

plique al menos dos ventajas de emplear este tipo de instalación. Flujo

1 2

P11.98 Flujo

P11.93

es (4gH/3)1/2 y (c) el diámetro óptimo de la turbina es Dj = [D5/(2 ƒL)]1/4, donde ƒ es el coeficiente de fricción del conducto.

P11.99 Las turbinas también pueden cavitar cuando la presión en el punto 1 de la Figura P11.98 se reduce demasiado. Empleando la NPSH definida por la Ecuación (11.20), Wislicenus [4] proporcionó un criterio empírico para la cavitación: N ss =

Embalse

Turbina impulso

P11.100

Dj Salto: L, D Vj

P11.95

P11.96 Aplique los resultados del Problema P11.95 para determinar (a) el diámetro del salto y (b) el diámetro de la tobera óptimos para una altura manométrica de 800 ft y un caudal de 40.000 gal/min si el salto tiene 1500 ft de tubería de acero comercial. P11.97 Considere la siguiente versión no óptima del Problema P11.95: H = 450 m, L = 5 km, D = 1,2 m, Dj = 20 cm. El salto está hecho de hormigón de ε = 1 mm. El diámetro de la turbina de impulso es de 3,2 m. Estime (a) la potencia generada por la turbina con un rendimiento del 80 por 100 y (b) la mejor velocidad de la turbina en revoluciones por minuto. Desprecie las pérdidas menores. P11.98 Las turbinas de Francis y Kaplan a menudo se instalan con tubos de descarga, Figura P11.98, que conducen el flujo de salida hasta la zona de aguas remansadas. Ex-

P11.101

P11.102

P11.103

(rpm)(gal/min)1/2 * 11.000 [NPSH (ft)3/4

Emplee este criterio para calcular la altura z1 – z2 a la que se puede colocar el ojo de la turbina de la Figura P11.98, suponiendo que se trata de una turbina Francis con una carga de 300 ft, Nsp = 40 y pa = 14 lbf/in2, antes de que se produzca la cavitación con agua a 60 °F. Uno de los mayores aerogeradores que están actualmente en funcionamiento es el aerogenerador HAWT de dos palas de ERDA/NASA en Sandusky, Ohio. Las palas tienen un diámetro de 125 ft y proporcionan su potencia máxima con vientos de 19 mi/h. En estas condiciones, estime (a) la potencia generada en kilowatios, (b) la velocidad del rotor en rpm y (c) la velocidad V2 aguas abajo del rotor. En Lumsden, Saskatchewan, se encuentra en funcionamiento un aerogenerador VAWT de tipo Darrieus con una altura de 32 ft y un diámetro de 20 ft, que barre un área de 432 ft2. Estime (a) la potencia máxima y (b) la velocidad del rotor si opera con vientos de 16 mi/h. Un molino de viento multipala HAWT norteamericano de 6 ft de diámetro se emplea para bombear agua hasta una altura de 10 ft a través de un conducto de hierro de fundición de 3 in de diámetro. Si la velocidad del viento es de 12 mi/h, estime el caudal de agua bombeada en galones por minuto. El Departamento de Energía norteamericano construyó un aerogenerador VAWT de tipo Darrieus de gran tamaño en Sandia, Nuevo Méjico. Tiene una altura de 60 ft y un diámetro de 30 ft, barriendo un área de 1200 ft2. Si está obligado a girar a 90 rpm, use la Figura 11.31 para pintar la potencia producida en kilovatios en función de la velocidad del viento en el intervalo V = 5 a 40 mi/h.

780

MECÁNICA DE FLUIDOS

Problemas conceptuales C11.1

C11.2

C11.3

C11.4

C11.5

Sabemos que un rotor de palas encapsulado puede proporcionar energía a un fluido, generalmente en forma de incremento de presión. ¿Cómo ocurre realmente? Discuta, dibujando esquemas, el mecanismo físico por el que el rotor transfiere realmente la energía al fluido. Las bombas dinámicas (al contrario que las PDP) tienen dificultades para bombear fluidos muy viscosos. Lobanoff y Ross [15] sugieren la siguiente regla aproximada: D (in) > 0,015ν/νagua, donde D es el diámetro del conducto de descarga. Así, por ejemplo, el aceite SAE 30W (5 300νagua) requeriría un conducto de salida de al menos 4,5 in. ¿Podría explicar algunas razones para esta limitación? El concepto de NPSH indica que las bombas dinámicas para líquidos deben estar generalmente sumergidas bajo la superficie. ¿Puede explicarlo? ¿Cuál es el efecto de incrementar la temperatura del líquido? Wallis [20] sugiere para las actuaciones adimensionales de un ventilador que el coeficiente de carga debe ser reemplazado por FTP/(ρn2D2), donde FTP es el cambio total de presión del ventilador (fan total pressure change). Explique la utilidad de esta modificación. Los datos de actuaciones de las bombas centrífugas muestran una disminución del rendimiento con el ta-

maño del rotor, incluso cuando están escaladas geométricamente. Discuta las razones físicas de este comportamiento. C11.6 Considere el diagrama de curvas características de una bomba de la Figura 11.8. ¿Qué parámetros adimensionales podrían modificar o incluso destruir las semejanzas indicadas en tales datos? C11.7 Un parámetro no discutido en este libro es el número de álabes de un rotor. Busque información sobre este tema e informe a la clase sobre su efecto en las actuaciones. C11.8 Explique por qué las curvas características de algunas bombas pueden dar lugar a condiciones de funcionamiento inestables. C11.9 ¿Por qué las turbinas de Francis y Kaplan en general no se consideran apropiadas para instalaciones hidroeléctricas con más de 1000 ft de carga disponible? C11.10 Busque alguna información sobre las actuaciones de las hélices libre que se emplean en aviones de pequeño tamaño y baja velocidad. ¿Cuáles son sus parámetros adimensionales típicos? ¿Cómo se comparan sus rendimientos y actuaciones con los de las bombas de flujo axial?

Problemas extensos PE11.1 La carga neta de la bomba de un pequeño acuario está dada por su fabricante en función del caudal según se presenta en la siguiente tabla:

Q 0,80 m

Q, m3/s

H, mH2O

0 1,0 × 10–6 2,0 × 10–6 3,0 × 10–6 4,0 × 10–6 5,0 × 10–6

1,10 1,00 0,80 0,60 0,35 0,0

¿Cuál es el caudal máximo que puede obtenerse si se emplea esta bomba para mover agua del depósito inferior al superior de la Figura PE11.1? Nota: los conductos son lisos, con un diámetro interior de 5,0 mm y una longitud total de 29,8 m. El agua se encuentra a la presión y temperatura de la habitación. Se pueden despreciar las pérdidas menores en el sistema. PE11.2 Reconsidere el Problema P6.62 como un ejercicio sobre la selección de una bomba. Seleccione el tamaño del rotor y la velocidad de rotación de una bomba de Byron Jackson de la familia del Problema P11.28 para proporcionar un caudal de 3 ft3/s al sistema de la Figura P6.68 con un consumo mínimo de potencia. Calcule la potencia requerida en caballos de vapor.

Bomba Q

PE11.1

PE11.3 Reconsidere el Problema P6.77 como un ejercicio sobre la selección de una turbina. Seleccione el tamaño del rotor y la velocidad de rotación de una turbina de Francis de la familia de la Figura 11.21d para obtener la máxima potencia de la turbina. Calcule la potencia obtenida y discuta sobre la utilidad del diseño. PE11.4 El sistema de la Figura PE11.4 se ha diseñado para conducir agua a 20 °C de un depósito a nivel del mar a otro depósito a través de un conducto de hierro fundido de 38 cm de diámetro. Se producen unas pequeñas pérdidas de -K1 = 0,5 antes de la entrada de la bomba, y de -K2 = 7,2 después de la salida de la bomba. (a) Seleccione una bomba de la Figura 11.7a o la Figura 11.7b, funcionando a las velocidades especificadas, que pueda realizar estas funciones con el máximo

TURBOMÁQUINAS

781

10 m

25 m

Bomba 1m

PE11.4

rendimiento. Determine (b) el caudal resultante, (c) la potencia al freno y (d) si la bomba, situada en su posición actual, está libre de cavitación. PE11.5 Estime el rendimiento de la bomba del Problema P11.23 de dos formas. (a) Léalo directamente de la Figura 11.7b (para la bomba de agua dinámicamente semejante) y (b) calcúlelo a partir de la Ecuación (11.5) para el flujo de queroseno. Compare los resultados y discuta las diferencias. PE11.6 Una turbomáquina interesante [58] es el acoplamiento fluido de la Figura PE11.6, en el que el rotor de una bomba hace circular fluido con el que impulsa una turbina secundaria unida a un eje distinto. Ambos rotores tienen álabes radiales. Estos acoplamientos son comunes en las transmisiones de todo tipo de vehículos y maquinarias. El deslizamiento del acoplamiento se define como la diferencia adimensional entre las velocidades de rotación de los dos ejes, s = 1 – ωs/ωp. Para

Primario

ωp

PE11.6

Secundario

ωs

un volumen de fluido dado, el par transmitido T es función de s, ρ, ωp, y el diámetro del rotor D. (a) Adimensionalice esta función en dos grupos dimensionales, uno de ellos proporcional a T. Aplíquelo a un acoplamiento de 1 ft de diámetro a 2500 rpm, lleno de un fluido hidráulico a 56 lbm/ft3, con los siguientes datos de momento en función del deslizamiento: Desplazamiento, s

10%

15%

20%

25%

Momento T, ft · lbf

275

440

580

680

(b) Si este acoplamiento opera a 3600 rpm, ¿para qué valor de deslizamiento transmitirá un momento de 900 ft · lbf? (c) ¿Cuál es el diámetro adecuado para que un acoplamiento geométricamente semejante opere a 3000 rpm y un 5 por 100 de deslizamiento y transmita un momento de 600 ft · lbf?

782

MECÁNICA DE FLUIDOS

Proyecto de diseño D11.1

Para reducir los costes de electricidad, el sistema de suministro de agua de una ciudad descarga por gravedad el agua de cinco grandes depósitos durante el día y los rellena de 10 de la noche a 6 de la mañana mediante una tarifa nocturna barata de 7 centavos por kilovatio. La cantidad de agua que hay que reemplazar por la noche varía de 5 × 105 a 2 × 106 gal, con no más de 5 × 105 galones a cualquiera de los depósitos. La elevación de los depósitos varía de 40 a 100 ft. El trabajo es realizado mediante una bomba de velocidad constante que toma agua de un gran acuífero y la impulsa hasta los depósitos a través de cinco líneas de conductos de hierro fundido. Las distancias de la bomba a los cinco depósitos varían de 1 a 3 millas. Por término medio, cada línea tiene un codo cada 100 ft y cuatro válvulas de mariposa, cuyo ángulo de apertura se puede controlar. Seleccione una bomba de entre las de las familias presentadas en los seis conjuntos de

datos del capítulo: Figuras 11.8, P11.24 y P11.34 más los Problemas P11.28, P11.35 y P11.38. Suponga semejanza ideal (sin efectos del Reynolds ni de la rugosidad). El objetivo es determinar el tamaño de la bomba y de los conductos que permiten un coste mínimo durante un periodo de 5 años. Algunas sugerencias sobre costes son: (a) Bomba y motor: 2500 dólares más 1500 dólares por pulgada de conducto. (b) Válvulas: 100 dólares más 100 por pulgada de conducto. (c) Conductos: 50 centavos por pulgada de diámetro y por pie de longitud. Dado que los parámetros de flujo y elevación varían considerablemente, una variación diaria aleatoria dentro del rango especificado podría proporcionar una aproximación realista.

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TURBOMÁQUINAS

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Apéndice A

Propiedades físicas de los fluidos

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Aceite de ricino

Aceite SAE 10

0,06

Glicerina

0,04 0,03

Aceite SAE 30

0,02

Petróleo crudo (S 0,86)

Viscosidad absoluta µ, N ⋅ s/m2

0,01 6 4 3

Queroseno Anilina

Tetr 1 × 10 – 3

Mercurio

aclo

ruro

de c

artb

ono

6 Alcohol etílico

4 3

Benceno

Agua Gasolina (S 0,68)

2 1 × 10 – 4 6 4 3

Helio

2 Dióxido de carbono Aire

1 × 10 – 5 5 – 20

Hidrógeno 0

40 60 Temperatura, °C

100

120

Figura A.1. Viscosidad absoluta de fluidos comunes a 1 atm.

785

MECÁNICA DE FLUIDOS

1 × 10 – 3 8 6 4 3 2

Glicerina Helio

Aceite SAE 10

Hidrógeno 1 × 10 – 4 8 6 Viscosidad cinemática ν, m2 /s

786

Aceite SAE 30

4 3

Aire y oxígeno

2 Dióxido de carbono

1 × 10 – 5 8 6

Petróleo crudo (S 0,86)

4 3 2 1 × 10 – 6 8 6

Queroseno Benzeno Alcohol etílico Agua

4 3

Gasolina (S 0,68)

Tetracloruro de carbono

2 Mercurio 1 × 10 – 7 –20

40 60 Temperatura, °C

100

Figura A.2. Viscosidad cinemática de fluidos comunes a 1 atm.

120

APÉNDICE A. PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS FLUIDOS

787

Tabla A.1. Viscosidad y densidad del agua a 1 atm.

T, °C

ρ, kg/m3

µ, N · s/m2

v, m2/s

T, °F

ρ, slug/ft3

µ, lb · s/ft2

v, ft2/s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1000 1000 998 996 992 988 983 978 972 965 958

1,788 × 10–3 1,307 × 10–3 1,003 × 10–3 0,799 × 10–3 0,657 × 10–3 0,548 × 10–3 0,467 × 10–3 0,405 × 10–3 0,355 × 10–3 0,316 × 10–3 0,283 × 10–3

1,788 × 10–6 1,307 × 10–6 1,005 × 10–6 0,802 × 10–6 0,662 × 10–6 0,555 × 10–6 0,475 × 10–6 0,414 × 10–6 0,365 × 10–6 0,327 × 10–6 0,295 × 10–6

32 50 68 86 104 122 140 158 176 194 212

1,940 1,940 1,937 1,932 1,925 1,917 1,908 1,897 1,886 1,873 1,859

3,73 × 10–5 2,73 × 10–5 2,09 × 10–5 1,67 × 10–5 1,37 × 10–5 1,14 × 10–5 0,975 × 10–5 0,846 × 10–5 0,741 × 10–5 0,660 × 10–5 0,591 × 10–5

1,925 × 10–5 1,407 × 10–5 1,082 × 10–5 0,864 × 10–5 0,713 × 10–5 0,597 × 10–5 0,511 × 10–5 0,446 × 10–5 0,393 × 10–5 0,352 × 10–5 0,318 × 10–5

Curva de ajuste sugerida para el agua en el intervalo 0 ) T ) 100 °C:

l (kg/m 3 ) 5 1000 < 0, 0178 | T °C – 4°C |1, 7 ± 0, 2% µ ln 5 a P8.74 VB, total = (8Ki + 4Kj)/(15a) P8.78 Se necesita una fila infinita de imágenes P8.82 (a) 4,5 m/s; (b) 1,13; (c) 1,26 hp P8.84 (a) 0,21; (b) 1,9° P8.86 (a) 26 m; (b) 8,7; (c) 1600 N P8.88 Empuje1 motor 5 2900 lbf P8.92 (a) 0,77 m; (b) V = 4,5 m/s en (r, θ) = (1,81, 51°) y (1,11, 88°) P8.94 Sí, son ortogonales P8.98 Sí, aparece un cuerpo cerrado con forma de gota P8.100 V = 14,1 m/s, pA = 115 kPa P8.102 (a) 1250 ft; (b) 1570 ft (a grosso modo)

Capítulo 9 P9.2 P9.4 P9.6 P9.8 P9.10 P9.12 P9.18 P9.20 P9.22 P9.24 P9.28 P9.30 P9.32 P9.34 P9.40 P9.42

(a) V2 = 450 m/s, ∆s = 515 J/(kg · K); (b) V2 = 453 m/s, ∆s = 512 J/(kg · K) Alrededor de 50 m/s (a) 14 °C; (b) –2170 J/(kg · K) 410 K Ma = 0,78 (a) 2,13 × 109 Pa y 1460 m/s; (b) 2,91 × 109 Pa y 1670 m/s; (c) 2645 m/s Ma 5 0,24 (a) Aire: 144 kPa y 995 m/s; (b) helio: 128 kPa y 2230 m/s (a) 267 m/s; (b) 286 m/s (b) En Ma 5 0,576 (a) 0,17 kg/s; (b) 0,90 (a) 239 m/s; (b) 0,54; (c) 0,98 kg/m3 (a) 141 kPa; (b) 101 kPa; (c) 0,706 (a) 0,00424 slug/s; (b) 0,00427 slug/s (a) 2,50; (b) 7,6 cm2; (c) 1,27 kg/s; (d) Ma2 = 1,50 (a) Ma = 0,90, T = 260 K, V = 291 m/s

P9.44 P9.46 P9.48 P9.50 P9.52 P9.54 P9.56 P9.58 P9.60 P9.62 P9.64 P9.66 P9.68 P9.70 P9.72 P9.74 P9.76 P9.78 P9.80 P9.82 P9.84 P9.86 P9.88 P9.90 P9.92 P9.96 P9.98 P9.100 P9.102 P9.104 P9.106 P9.108 P9.112 P9.116 P9.118 P9.120 P9.122 P9.124 P9.126 P9.128 P9.130 P9.132 P9.134 P9.136 P9.138 P9.140 P9.142 P9.146 P9.148 P9.150 P9.152

Vs = 5680 ft/s, ps = 15,7 psi, Ts = 1587 °R, empuje = 4000 lbf Rx = –8 N (hacia la izquierda) (a) 313 m/s; (b) 0,124 m/s; (c) 0,00331 kg/s (a) Dsalida = 5,6 cm; (b) se puede reducir hasta 75 kPa (a) 5,9 cm2; (b) 773 kPa Ma2 = 0,648, V2 = 279 m/s, T2 = 461 °K, p2 = 458 kPa, p02 = 607 kPa Alrededor de A1 5 24,7 cm2 (a) 306 m/s; (b) 599 kPa; (c) 498 kPa Aguas arriba: Ma = 1,92, V = 585 m/s C = 19.100 ft/s, Vdetrás de la onda = 15.900 ft/s (a) 0,150 kg/s; (b, c) 0,157 kg/s h = 1,09 m patm = 92,6 kPa; máximo gasto = 0,140 kg/s (a) 388 kPa; (b) 19 kPa D 5 9,3 mm (a) 1,08 MPa; (b) 2,24 kg/s ∆tonda en tobera 5 23 s; ∆tfin de bloqueo 5 39 s Caso A: 0,0071 kg/s; B: 0,0068 kg/s A* = 2,4 × 10–6 ft2 o Dagujero = 0,021 in Vs = 110 m/s, Mas = 0,67 (sí) (a) 0,96 kg/s; (b) 0,27; (c) 435 kPa V2 = 107 m/s, p2 = 371 kPa, T2 = 330 K, p02 = 394 kPa L = 2 m, sí, hay onda para Ma2 = 2,14 (a) 0,764 kg/s; (b) 0,590 kg/s; (c) 0,314 kg/s (a) 0,45; (b) 2,04 kg/s (a) 128 m; (b) 80 m; (c) 105 m (a) 430; (b) 0,12; (c) 0,00243 kg/h Ltubería = 69 m El flujo está bloqueado con un gasto másico de 0,56 kg/s ptanque = 190 kPa (a) 0,031 m; (b) 0,53 m; (c) 26 m El gasto másico disminuye alrededor del 32 por 100 (a) 105 m/s; (b) 215 kPa Vavión5 2640 ft/s V = 204 m/s, Ma = 0,6 P está 3 m por delante del círculo pequeño, Ma = 2,0, Tpunto de remanso = 518 K β = 23,13°, Ma2 = 2,75, p2 = 145 kPa (a) 1,87; (b) 293 kPa; (c) 404 K; (d) 415 m/s (a) 25,9°; (b) 26,1° δcuña 5 15,5° (a) 43,78°; (b) 13,80° (a) pA = 18,0 psi; (b) pB = 121 psi Ma3 = 1,02, p3 = 727 kPa, φ = 42,8° (a) h = 0,40 m; (b) Ma3 = 2,43 pa = 21,7 kPa Ma2 = 2,75, p2 = 145 kPa (a) Ma2 = 2,641, p2 = 60,3 kPa; (b) Ma2 = 2,299, p2 = 24,1 kPa (a) 2,385; (b) 47 kPa (a) 4,44; (b) 9,6 kPa (a) α = 4,10°; (b) resistencia = 2150 N/m El perfil parabólico tiene una resistencia un 33 por 100 más allá

Capítulo 10 P10.2 P10.4

817

(a) 3,55 m/s; (b) 0,35 m/s Se trata de tubos piezométricos (sin flujo)

818 P10.6 P10.8 P10.10 P10.14 P10.16 P10.18 P10.20 P10.22 P10.24 P10.30 P10.32 P10.34 P10.36 P10.38 P10.42 P10.44 P10.46 P10.48 P10.50 P10.52 P10.54 P10.56 P10.58 P10.60 P10.64 P10.66 P10.70 P10.72 P10.76 P10.78 P10.80 P10.82 P10.84 P10.86 P10.88 P10.90 P10.92 P10.94 P10.98 P10.106 P10.108 P10.110 P10.112 P10.114 P10.116 P10.120 P10.122 P10.124

MECÁNICA DE FLUIDOS

(a) Fr = 3,8; (b) Vcorriente = 7,7 m/s ∆tviaje de la onda = 6,3 h λcrít = 2π(/ρg)1/2 El flujo debe ser completamente turbulento (alto Re) para que sea válida la fórmula de Chézy El caudal se reduce en un 20 por 100 independientemente de n yn = 0,993 m Q = 74 ft3/s S0 = 0,00038 (o 0,38 m/km) yn = 0,56 m ∆t 5 32 min 74.000 gal/min Si b = 4 ft, y = 9,31 ft, P = 22,62 ft; si b = 8 ft, y = 4,07 ft, P = 16,14 ft y2 = 3,6 m Dsemicírculo = 2,67 m (el diámetro es un 16 por 100 menor) P = 41,3 ft (un 71 por 100 mayor que en el Problema P10.39) Lado del hexágono b = 2,12 ft h0/b 5 0,49 (a) 0,00634; (b) 0,00637 (a) 2,37; (b) 0,62 m; (c) 0,0023 W = 2,06 m (a) 1,98 m; (b) 3,11 m/s; (c) 0,00405 (a) 1,02 m3/s; (b) 0,0205 (a) 1,0 m; (b) 1,0; (c) 0,77 m3/s (a) 0,055 m3/s/m; (b) 0,086 m hmáx 5 0,35 m (a) 1,47; (b) y2 = 1,19 m (a) 0,726 m3/s/m; (b) 0,182 m; (c) 3,0 (a) 0,046 m; (b) 4,33 m/s; (c) 6,43 0,0253 m ∆t 5 8,6 s (análisis burdo) (a) 3,83 m; (b) 4,83 m3/(s · m) (a) 1,46 ft; (b) 15,5 ft/s; (c) 2,26; (d) 13%; (e) 2,52 ft y2 = 0,82 ft; y3 = 5,11 ft; 47 por 100 (a) 6,07 m/s; (b) ∆V = 2,03 m/s (a) 2,22 m3/s/m; (b) 0,79 m; (c) 5,17 m; (d) 60%; (e) 0,37 m S0 = 0,0431 (alrededor de 2,5°) (a) 3370 ft3/s; (b) 7000 hp (a) 1,18 m; (b) 0,68 m; (c) 0,43 m; (d) 1,02 m (a) Pronunciada P-3; (b) P-2; (c) P-1 Ninguna profundidad a la entrada produce condiciones críticas (a, b) Ambas curvas alcanzan y 5 yn 5 0,5 m en x = 250 m (a) ycresta 5 0,782 m; (b) y(L) 5 0,909 m Curva S-1, con y = 2 m en L 5 214 m ¡Problemas! El flujo se bloquea para Q 5 17 m3/s Q 5 9,51 m3/s Y = 0,64 m, α = 34° 5500 gal/min Curva S-1, y = 10 ft en x = –3040 ft

P10.126 En x = –100 m, y = 2,81 m P10.128 A 300 m aguas arriba, y = 2,37 m Capítulo 11 P11.6 P11.8

Es una bomba de diafragma (a) H = 112 ft y ∆p = 49 lb/in2; (b) H = 112 ft (de gasolina); P = 15 hp P11.10 (a) 12 gal/min; (b) 12 gal/min; (c) 87% P11.12 (a) 11,3 m; (b) 1520 W P11.14 1870 W P11.16 (a) 1450 W; (b) 1030 rpm P11.18 Máxima potencia para Vpaleta = (1/3)Vchorro P11.20 (a) 2 raíces: Q = 7,5 y 38,3 ft3/s; (b) 2 raíces: H = 180 ft y 35 ft P11.22 (a) PMR = 92 por 100 en Q = 0,20 m3/s P11.26 La correlación es «aceptable», pero no son geométricamente semejantes P11.28 PMR alrededor de 6 ft3/s; Ns 5 1430, Qmáx 5 12 ft3/s P11.30 (a) 1700 rpm; (b) 8,9 ft3/s; (c) 330 ft P11.32 (a) D 5 15,5 in; (c) n 5 2230 rpm P11.34 (a) 11,5 in; (b) 28 hp; (c) 100 ft; (d) 78 por 100 P11.36 D = 9,8 in, n = 2100 rpm, P = 25 hp P11.38 (a) 18,5 hp; (b) 7,64 in; (c) 415 gal/min; (d) 81 por 100 P11.40 (a) Ds = D(gH*)1/4/Q*1/2 P11.42 NPSHproto 5 23 ft P11.44 No hay cavitación, la profundidad necesaria es de sólo 5 ft P11.46 Ds 5 C/Ns, C = 7800 ± 7 por 100 P11.48 (a) Ns 5 1000; (b) centrífuga; (c) D 5 0,34 m P11.52 (a) 6,56 m3/s; (b) 12,0 kW; (c) 28,3° P11.54 Bombas centrífugas, D 5 7,2 ft P11.56 (a) D = 5,67 ft, n = 255 rpm, P = 700 hp; (b) D = 1,76 ft, n = 1770 rpm, P = 740 hp P11.58 Bomba centrífuga, η = 67 por 100, D = 0,32 ft P11.60 (a) 623; (b) 762 gal/min; (c) 1,77 ft P11.62 D = 18,7 ft, ∆p = 1160 Pa P11.64 (a) 15,4 in; (b) 900 rpm P11.66 Q 5 1240 ft3/min P11.68 (a) 4,8 in; (b) 6250 rpm P11.70 (a) 212 ft; (b) 5,8 ft3/s P11.72 (a) 10 gal/min; (b) 1,3 in P11.74 (a) 14,9; (b) 15,9; (c) 20,7 kgal/min P11.76 Dtubo 5 1,70 ft P11.78 Dtubo 5 1,67 ft, P 5 2000 hp P11.80 Q32 5 22.900 gal/min; Q28 5 8400 gal/min, H 5 343 ft en ambos casos P11.84 Dos turbinas: (a) D 5 9,6 ft; (b) D 5 3,3 ft P11.86 Nsp 5 70, luego son turbinas Francis P11.88 (a) Francis; (c) 16 in; (d) 900 rpm; (e) 87 hp P11.90 P 5 800 kW P11.94 (a) 71 por 100; (b) Nsp 5 19 P11.96 (a) 1,68 ft; (b) 0,78 ft P11.100 (a) 190 kW; (b) 24 rpm; (c) 9,3 ft/s P11.102 Q 5 29 gal/min

RESUMEN DE ECUACIONES Ley de los gases ideales: p = ρRT, Raire = 287 J/(kg · K)

Tensión superficial: ∆p = Y(R1–1 + R2–1)

Hidrostática, densidad constante:

Fuerza hidrostática sobre un panel: F = ρghCGA,

p2 – p1 = –ρg(z2 – z1)

yCP = –Ixx sen θ/(hCGA), xCP = –Ixy sen θ/(hCGA) VC masa: d/dt(0VC ρdυ) + -(ρAV)salida

Fuerza de flotabilidad: FF = ρfluido g (volumen desplazado) VC cantidad de movimiento: d/dt(0VCρVdυ) + -[(ρAV)V]salida – -[(ρAV)V]entrada = -F Energía, flujo estacionario: [p/(ρg) + αV 2/2g + z]entrrada= [p/(ρg) + αV 2/2g + z]salida + hfricción – hbomba + hturbina

– -(ρAV)entrada = 0 VC momento cinético: d/dt(0VCρ(r0 × V)dv) + -ρAV(r0 × V)salida – -ρAV(r0 × V)entrada= -M0 Aceleración: dV/dt = ,V/,t + u(,V/,y) + v(,V/,y) + w(,V/,z)

Continuidad, flujo incompresible: ∇ · V = 0

Navier-Stokes: ρ(dV/dt) = ρg – ∇p + µ∇2V

Función de corriente, flujo incompresible ψ(x, y):

Potencial de velocidades: φ(x, y, z):

u = ,ψ/,y; v = –,ψ/,x Bernoulli, flujo irrotacional no estacionario: ,φ/,t + 0dp/ρ + V2/2 + gz = Constante Pérdida de carga en conductos: hf = f(L/d)V 2/(2g) donde f = Coeficiente de fricción de Moody Capa límite laminar, placa plana: δ/x = 5,0/Re1/2 , x cf = 0,664/Re1/2 , CD = 1,326/Re1/2 x L CD = Resistencia/(12 ρV2A);

CL = Sustentación/(12 ρV2A)

Flujo isentrópico: T0/T = 1 + {(γ – 1)/2}Ma2,

ρ0 /ρ = (T0/T)1/(γ –1), p0 /p = (T0/T)γ /(γ –1) Expansión de Prandtl-Meyer: K = (γ + 1)/(γ – 1),

ω = K 1/2 tg–1[(Ma2 – 1)/K]1/2 – tg–1(Ma2 – 1)1/2 Corriente lentamente variable en un canal: dy/dx = (S0 – S)/(1 – Fr2), Fr = V/Vcrít

u = ,φ/,x; v = ,φ/,y; w = ,φ/,z _ Coeficiente de fricción turbulento: 1/3 f =

_ –2,0 log10 [ε/(3,7d) + 2,51/(Red3 f )]

Flujo en orificios, toberas, contracción de venturi: Q = Cd Agarganta[2∆p/{ρ(1 – β 4)}]1/2, β = d/D Capa límite turbulenta, placa plana: δ/x = 0,16/Re1/7 , x cf = 0,027/Re1/7 , CD = 0,031/Re1/7 x L Flujo potencial 2-D: ∇2φ = ∇2ψ = 0 Variaciones de área en flujo isentrópico unidimensional: A/A* = (1/Ma)[1 + {(γ – 1)/2}Ma2](1/2)(γ +1)/(γ –1) Corriente uniforme, parámetro n de Manning, unidades SI: V0(m/s) = (1,0/n)[Rh(m)]2/3S1/2 0 Fórmula de Euler para turbinas: Potencia = ρQ(u2Vt2 – u1Vt1), u = rω

819

Índice

A Aceleración centrípeta, 90 convectiva, 14, 220 de Coriolis, 2, 158 de un fluido, campo de, 219-221 fuerza y, 130 lineal uniforme, 90-92 local, 220 Aceleraciones convectivas no lineales, 560 Actuaciones de una bomba en forma adimensional, 737-741 Actuadores neumáticos, 727 Actuadores, 727 Adimensionalización (véase Análisis dimensional) Aerodinámica, 437, 471-474 Aerogenerador de Darrieus, 765, 766, 767 Aerogenerador de hélice de eje horizontal (HAWT), 766 Aerogenerador de Smith-Putnam, 765 Aerogeneradores, 764-769 coeficiente de potencia, 767 Darrieus, 765, 766, 767 de eje horizontal (HAWT), 724, 766 de eje vertical (VAWT), 765, 766, 767 número de Betz, 767 rendimiento de, 767 rotor tipo Savonius, 767 teoría idealizada, 766-769 tipo Darrieus de álabes rectos, 765, 766 Aeronáutica, nuevas tendencias en, 648-649 Agua de mar, 21 Airbus A-380, 649 Airbus Industrie, 649 Aire ensayos/modelos en, 314-320 fórmulas útiles para, 589-591 Aireados, vertederos, 702 Álabes abiertos, bombas centrífugas, 728 Álabes cerrados, bombas centrífugas, 728 Álabes curvados hacia atrás, 728 Álabes del estátor, 746 Álabes del rotor, 746 Alargamiento, 482-483, 539 Alas (véase Perfiles) Alas de alargamiento finito, 539-542 Aliviaderos, de una presa, 316 Altura metacéntrica, 87 Altura neta de succión, 736 Análisis a gran escala (véase Análisis de volumen de control) Análisis a pequeña escala (véase Análisis diferencial) Análisis de Kármán, capa límite sobre una placa plana, 442 Análisis de volumen de control, 36-37, 129-216 aproximaciones unidimensionales al término de flujo, 138141

conservación de la masa, 141-147 definiciones introductorias, 129-132 ecuación de la cantidad de movimiento (véase Ecuación de la cantidad de movimiento) ecuación de la energía (véase Ecuación de la energía) flujo volumétrico y másico, 132-133 leyes básicas (véase Leyes básicas de la Mecánica de Fluidos) movimiento arbitrario/volumen de control deformable, 137138 teorema del momento cinético (véase Momento cinético) teorema del transporte de Reynolds, 133-141 volumen de control de forma constante pero velocidad variable, 133-137 volumen de control fijo arbitrario, 135-136 volumen de control fijo unidimensional, 134-135 volumen de control moviéndose a velocidad constante, 136137 Análisis diferencial, 36, 129-130 (véase también Relaciones diferenciales) Análisis dimensional, 6, 11, 16, 36, 129-130, 287-331 adimensionalización y, 301-310 coeficiente de fricción superficial, 306 coeficiente de fricción, 306 coeficiente de presión, 306 coeficiente de resistencia, 306 coeficiente de sustentación, 306 condiciones de contorno, 301-303 continuidad, 301-303 entrada, 301-303 flujos oscilatorios, 304 Navier-Stokes, 301-303 número de cavitación, 303-306 número de Eckert, 306 número de Euler, 303 número de Froude, 303, 306, 307, 673 número de Grashof, 306 número de Mach, 304, 306, 307 número de Prandtl, 306 número de Rayleigh, 306 número de Reynolds, 303, 305, 306 número de Rossby, 306 número de Strouhal, 306 número de Weber, 303, 306 otros parámetros adimensionales, 305-307 parámetros adimensionales, 303 parámetros de compresibilidad, 304-305 relación de calores, 306 relación de temperaturas, 306 rugosidad relativa, 306 salida, 301-303 superficie fija, 301-303 superficie libre, 301-303 dimensiones de las propiedades de la Mecánica de Fluidos, 297

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ÍNDICE Análisis dimensional (Cont.) hom*ogeneidad (véase Principio de hom*ogeneidad dimensional (PHD)) modelización (véase Modelización) semejanza, 288, 310 (véase también Modelización) teorema Pi de Buckinham, 289, 295-301 variables adimensionales, 287 Análisis experimental (véase Análisis dimensional) Análisis integral para un volumen de control (véase Análisis de volumen de control) Análisis tensorial, 229 Anemometría láser-doppler (LDA), 395-396, 751 Anemómetro de hilo caliente, 397-398 Ángulo de ataque, 479 Angulo de contacto, 30 Ángulo de entrada en pérdida, 480, 481-482 Ángulo de los álabes, efecto en el incremento de carga de una bomba, 733-734 Aproximación unidimensional ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, 157 flujo en canales abiertos, 670-672 Aproximaciones unidimensionales al término de flujo, 138-141 Área característica, flujos externos, 463 Área de la forma en planta, 463 Área frontal, 463 Área mojada, 463, 475 Aristas vivas, pérdidas localizadas en sistemas de tuberías, 380 Arquímedes, 84 Automóviles, fuerzas aerodinámicas sobre, 471-474 Avión nuevos diseños, 484-486 perfiles (véase Perfiles)

B Bandas anulares, 475 Barco con rotor de Flettner, 521-522 Barcos, resistencia de, 475-476 Barómetros de mercurio, 66-67 Barrera del sonido, 477, 629 Bernoulli, ecuación de, 9, 10, 129 ecuación de la energía para flujo estacionario, 179-180 en coordenadas rotatorias, 731 hipótesis y restricciones, 179 LAM y LNE, 180-185 para flujo adiabático e isentrópico, 589 para flujo sin fricción, 177-185 Bernoulli, teoría de la obstrucción de, 405-407 Blasius, ecuación de, 447 Bloqueo, 579 calentamiento simple y, 626-627 de compresores, 756 debido a la fricción, conductos compresibles y, 617-619 flujo isentrópico con cambios de sección, 595 Boeing Corp., 649 Bomba de engranajes, 726 Bomba externa de engranajes, 726 Bombas, 725-754 acoplamiento a una red, 751-756 conectadas en paralelo, 753 conectadas en serie, 754 de varios escalones, 754 compresores, 755-756 actuaciones (véase Curvas de actuaciones, bombas) actuadores, 727 alternativas de pistón, 726 alternativas, 725, 726

axiales, 727, 743-751 actuaciones de, 748 teoría, 746-747 velocidad específica de succión, 744-745 velocidad específica, 744-745, 748 bomba de chorro (eyector), 727 cebado, 727 centrífugas (véase Bombas centrífugas) circunferenciales, 726 clasificación de, 725-728 compresores, 755-756 conectadas en paralelo, 753 conectadas en serie, 754 de desplazamiento positivo, 725-728 de diafragma, 725 de doble pistón azimutal, 726 de chorro, 727 de émbolo, 725 de engranajes externos, 726 de engranajes, 726 de eyector, 727 de flujo de salida radial, 727 (véase también Bombas centrífugas) de flujo mixto, 727 de lóbulos, 726 de paleta deslizante, 726, 743-746 de pistón azimutal, 726 de pistón o émbolo, 725 de rotor múltiple, 726 de rotor simple, 726 de tornillo doble, 726 de tornillo, 726 de tres lóbulos, 726 de tubo flexible, 726 de varios escalones, 754 dinámicas, 727-728 electromagnéticas, 727 martinetes hidráulicos, 727 martinetes neumáticos, 727 oscilaciones de bombeo, 734 peristálticas de tubo flexible, 726 rotativas, 727 rotodinámicas, 727 simulación numérica de, 751 Bombas centrífugas, 727, 728-734 álabes abiertos, 728 álabes cerrados, 728 álabes curvados hacia atrás, 728 ecuaciones de Euler de las turbomáquinas, 731 efectos del ángulo del álabe en el incremento de carga de una bomba, 733-734 ojo de la carcasa, 728 oscilaciones de bombeo, 728 parámetros de salida, 728-729 pérdidas por desprendimiento, 729 pérdidas por fricción, 729 pérdidas, 729 potencia al freno, 729 potencia proporcionada, 729 potencia útil, 729 rendimiento de, 729 rendimiento hidráulico, 729 rendimiento mecánico, 729 rendimiento volumétrico, 729 sin álabes, 728 teoría elemental de bombas, 730-733 voluta de la carcasa, 728 Burbuja de separación, 479

ÍNDICE

C Caída de presión, 410 Calado normal, 671, 678-679 Calle de torbellinos de Kármán, 304 Calor específico/relación de calores específicos, 15, 18-19 flujo compresible, 306, 581 Campo de aceleraciones de un fluido, 219-221 Campo de velocidades definición, 14-15 descripción euleriana, 13-14 descripción lagrangiana, 13-14 propiedades del, 13-15 Canales eficientes para movimiento uniforme, 680-682 Canales irregulares, movimiento gradualmente variado en, 698699 Canales rectangulares, 683-684 Cantidad de movimiento, 37 (véase también Ecuación de la cantidad de movimiento) ecuación diferencial de, 227-234 fluido newtoniano, 232-234 flujo no viscoso: ecuación de Euler, 231 Capa límite análisis de Kármán, 441-442 coeficiente de fricción superficial, 442 derivación para un flujo bidimensional, 445-446 desprendimiento en un cuerpo semiinfinito, 511 ecuaciones de la, 444-446 en una placa plana (véase Capa límite sobre una placa plana) espesor de desplazamiento, 442-444 estimaciones integrales de cantidad de movimiento, 441-442 flujo en la capa límite, 437 fuerza de resistencia y, 440 gradiente de presión (véase Capa límite con gradiente de presión) relaciones integrales de cantidad de movimiento, 442 separación en un semicuerpo, de la, 511 teoría integral de cantidad de movimiento, 442 Capa límite con gradiente de presión, 455-461 ejemplo de tobera-difusor, 457 gradiente adverso, 455 gradiente favorable, 455 teoría integral laminar, 458-460 Capa límite sobre una placa plana, 446-455 análisis de Kármán, 441-442 flujo laminar, 446-449 flujo turbulento, 449-454 Capa límite, 23, 155, 437-461 Carga o altura de presión, 171 Carga o altura de velocidad, 171 Cavitación/Número de cavitación, 31-33, 34, 306 Cebado, 727 Centro de flotación, 84 Centro de presiones (CP), 75, 536 Chorro supersónico, 151 Cilindro circular, flujo con circulación, 518-519 Cilindros concéntricos infinitamente largos, flujo entre, 269270 Cilindros giratorios, 731 flujo con cilindro interior rotatorio, inestabilidad del, 271272 sustentación y resistencia de, 521-522 Circulación flujo potencial y, 509 pérdidas, en bombas centrífugas, 729 y flujo alrededor de un cilindro, 518-519 Círculo de Mohr, 4 Cobra P530, interceptador supersónico, 648

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Códigos CFD comerciales, flujo viscoso, 560-563 Coeficiente de Chézy, 675 Coeficiente de descarga, 11, 406 Coeficiente de fricción de Darcy, 344, 353 Coeficiente de pérdida de carga, 342-343 Coeficiente de pérdida estática, 617 Coeficiente de pérdida, 378 Coeficiente de potencia, aerogeneradores, 729 Coeficiente de presión, 306 Coeficiente de recuperación de presión, 391-392 Coeficiente de sustentación en movimiento supersónico, 642 Coeficiente de tensión superficial, 28-29 Coeficiente de viscosidad, 15, 23 Coeficientes de transporte, 15 Compresibilidad, adimensional, 304 Compresibilidad, efectos de, 35 Compresores, 725, 755-756 Compuerta anegada, 689 Concepto de media temporal de Reynolds, 348-350 Condición de continuidad de temperatura, 33-35 Condición de contorno cinemática, 240 Condición de Kutta, 533, 535, 537 Condición de no deslizamiento, 23, 33-35 Condición de presión a la salida de un chorro, 151-156, 158 Condición hidrostática, 59 Condición inicial, 239 Condiciones de Cauchy-Riemann, 255 Condiciones de contorno, o condiciones en la frontera, 33-35, 37 adimensionalización y, 301-303 para las ecuaciones diferenciales de los fluidos, 238-243 Conductividad térmica, 15, 27 Conductos flujo compresible con fricción (véase Flujo compresible en conductos con fricción) flujo isentrópico con cambios de área, 591-594 flujos viscosos en (véase Flujo viscoso en conductos) sin fricción, con adición de calor (véase Flujo en conductos sin fricción y con adición de calor) Conductos comerciales, valores de la rugosidad para, 358 Conferencia General de Pesas y Medidas, 7 Cono de Mach, 629 Conservación de la energía, 37 Conservación de la masa, 37, 130-132, 141-147 coordenadas cilíndricas, 223-224 ecuación diferencial de, 221-227 flujo compresible estacionario, 224 flujo incompresible, 142-147, 224-227 sistemas, 130 Consistencia dimensional, 9, 10 Constante de Kármán, 352 Constantes, 290-291 dimensionales, 290 puras, 291 Continuidad, 37 adimensionalización y, 301-303 ecuación de la, 222 Contornos, de sistemas, 130 Contracción brusca (CB) en tuberías, 380-383 Contracción gradual en conductos, 383 Contracciones laterales, vertedero rectangular sin, 705-706 Control activo de un flujo, 475 Convención Métrica, 7 Coordenadas cilíndricas, 223-224 Coordenadas esféricas, 224, 544 Coordenadas rotatorias, ecuación de Bernoulli en, 731 Correlación, velocidades turbulentas, 264-265, 271 Correlaciones, 295

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ÍNDICE Corriente uniforme, 508 con ángulo de ataque, 526 en la dirección del eje x, 259, 544 más fuente en el origen, 261-262 más un doblete puntual, 547-548 más una fuente puntual, 545-546 Cortadura, 4-5, 22-23 (véase también Viscosidad) Cuerda principal del cuerpo, 462 Cuerpo de ingenieros ejército de tierra de los EE.UU., 707 Cuerpo libre, concepto de, 133 Cuerpo semiinfinito de Rankine, 261-262 Cuerpos bidimensionales coeficiente de resistencia, 466 experimentación en flujos externos, 466 Cuerpos cerrados, formas de, 516-525 analogías de flujos potenciales, 524-525 cilindro circular con circulación, 518-519 cilindros rotatorios, sustentación y resistencia, 521-522 Kutta-Jukowski, teorema de sustentación de, 519-520 óvalo de Kelvin, 523 óvalo de Rankine, 516-517 Cuerpos de flotabilidad neutra, 86 Cuerpos flotantes (véase Flotabilidad) Cuerpos sustentadores (véase también Perfiles) ángulo de ataque, 479 fuerzas sobre, 478-484 Cuerpos tridimensionales, resistencia, 469-471 Curva troposkiana, 766 Curvas características medidas, bombas, 735-736 Curvas de actuaciones, bombas, 727, 734-743 altura neta de succión, 736 bombas de flujo axial, 747-749 caudal de diseño, 734 curvas características adimensionales, 737-741 curvas características medidas, 735-736 desviaciones de la teoría de bombas ideales, 736-737 efecto de la viscosidad, 743 punto de máximo rendimiento, 734 reglas de semejanza, 741-742 teoría de bombas ideales, desviaciones, 736-737 Curvas de remanso, 707-708

D d’Alambert, paradoja de, 520 Datos experimentales, incertidumbre de, 43-44 Deformación estática, 4-5 DeLaval-Stork V.O.F., 755 Densidad de un fluido, definición, 5 Densidad relativa, 17 Densidad, 5, 15, 16 Depresiones, en canales, 687 Derivada sustancial, o material, 220-221 Descripción euleriana, 13-14 Descripción lagrangiana del campo de velocidades, 13-14 Despegue y aterrizaje vertical, 649 Diafragma, 725 Diagrama de Moody, 357-360 Diagrama de pérdida de carga, 358 Diámetro hidráulico, flujo viscoso y, 367-368 Diferencial, presión, 62 Difusor sin álabes, bombas centrífugas, 728 Difusor subsónico, 609 Dimensiones primarias, 7-10 Dimensiones secudarias, factores de conversión para, 7 Dimensiones y unidades, 6-13 análisis dimensional, 6, 11

dimensión, definición de, 6 dimensiones primarias, 7-10 hom*ogéneas vs. dimensionalmente inconsistentes, 9 unidad, definición de, 6 unidades consistentes, 9, 10 Dinámica, definición, 3 Disco imaginario del rotor, teoría ideal de aerogeneradores, 766 Diseño de bombas, caudal de, 734 Dispositivos para romper las estructuras turbulentas grandes (LEBU), 475 Distribución de presiones, 59-127 condición hidrostática, 59 equilibrio de una partícula fluida, 61-63 estabilidad y, 87-89 flotabilidad, 84-86 flujo en reposo o a velocidad constante, 62 fórmulas para el cálculo de la presión manométrica, 76-79 fuerzas de presión sobre una partícula fluida, 60 fuerzas hidrostáticas en fluidos estratificados, 82-84 fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas, 79-82 fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas, 73-79 gradiente de presión y, 59-60 hidrostática (véase Distribución de presiones en hidrostática) línea de flotación, estabilidad y, 87-89 medida de la (véase Medida de la presión) movimiento como sólido rígido y, 59, 90-98 aceleración lineal uniforme, 90-92 rotación como sólido rígido, 92-98 traslación y rotación, 62 movimiento irrotacional, 62 movimiento viscoso arbitrario, 62 Presa Roosevelt, 58 presión absoluta, 62 presión diferencial, 62 presión manométrica y de vacío, 62, 76-79 presión relativa, 63 Distribución de presiones en hidrostática (véase también Fuerzas hidrostáticas) barómetros de mercurio, 66-67 efecto de una gravedad variable, 64-65 en gases, 67-69 en líquidos, 65-66 manometría (véase Manómetros/Manometría) peso específico, 65 validez de la fórmula lineal para gases, 68-69 Doblete (pareja fuente-sumidero), 515-516 Doblete puntual, flujo potencial axilsimétrico, 545

E Ecuación de Euler, 231, 242, 731 Ecuación de Euler para turbinas, 746 Ecuación de la cantidad de movimiento, 130-132, 148-160 aproximación unidimensional, 157 como ecuación vectorial, 157 condición de presiones a la salida de un chorro, 148 convención de signos del flujo de cantidad de movimiento, 157 detalles de la, 157-158 factor de corrección del flujo de cantidad de movimiento, 156-157 flujo de cantidad de movimiento unidimensional, 157 fuerzas aplicadas, acción de, 160 presión sobre una superficie de control cerrada, 151-156 sistema de referencia no inercial, 158-160 Ecuación de la conducción del calor, 238

ÍNDICE Ecuación de la continuidad, 222 Ecuación de la energía, 130-133, 165-177, 235-238 ecuación de la energía estacionaria, 171 factor de corrección de la energía cinética, 174-175 flujos de energía unidimensionales, 168-170 fricción y trabajo motor, 171-173 trabajo de los esfuerzos viscosos, 167 Ecuación de la hidrostática, 71 Ecuación para la presión, 560 Ecuaciones básicas, adimensionales, 301-310 Ecuaciones de Euler de las turbomáquinas, 731 Ecuaciones de estado, 37 para gases, 17-21 para líquidos, 21-22 Ecuaciones de Navier-Stokes adimensionalización y, 301-303 de cantidad de movimiento, 232-234 resolución con modelos de turbulencia, 560 Ecuaciones diferenciales, 219-284 (véase también Análisis diferencial) campo de aceleraciones de un fluido, 219-221 cantidad de movimiento (véase Cantidad de movimiento, ecuación diferencial de) condiciones de contorno, o condiciones en la frontera, 238243 aproximación para flujo no viscoso, 242-243 condición cinemática de contorno, 240 condiciones simplificadas en la superficie libre, 241 flujo incompresible con propiedades constantes, 241 conservación de la masa (véase Conservación de la masa) energía, ecuación diferencial de la, 235-238 flujo irrotacional no viscoso (véase Flujo irrotacional no viscoso) flujo viscoso incompresible, 263-272 con cilindro interior rotatorio, 271-272 de Couette entre una placa fija y otra móvil, 264-265 entre cilindros concéntricos infinitamente largos, 269-270 entre dos placas fijas debido a un gradiente de presión, 265-267 laminar completamente desarrollado, 267-269 flujos potenciales planos, 258-263 corriente uniforme en la dirección x, 259 corriente uniforme más un sumidero en el origen, 261-262 cuerpo semiinfinito de Rankine, 261-262 fuente más sumidero de igual intensidad, 260-261 fuente o sumidero en el origen, 259 sumidero más torbellino en el origen, 261 superposición: fuente más sumidero de igual intensidad, 260-261 torbellino irrotacional, 259-260 función de corriente (Ψ) (véase Función de corriente (Ψ)) lineales, 225 momento cinético, 234-235 vorticidad e irrotacionalidad, 251-253 Ecuaciones dimensionalmente inconsistentes, 11-12 Ecuaciones vectoriales, 157, 229, 231 Efecto Coanda, 475 Efecto Doppler, 398 Efecto Magnus, 519 Efectos no inerciales, 255 Eirtricity (compañía eléctrica de Irlanda), 769 El gas perfecto, 581-582 Elemento fluido, equilibrio de, 61-63 Energía cinética, 17 de un fluido, 548-549 factor de corrección, 174-175 Energía interna, 15 Energía potencial, 17

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Ensanchamiento brusco, o expansión brusca (EB), en tuberías, 382-383 Entalpía de remanso, 171, 586 Entalpía, 15, 171 Entorno, de sistemas, 130 Entrada subsónica, bloqueo debido a la fricción, 617 Entrada supersónica, bloqueo debido a la fricción, 617-618 Entradas adimensionalización y, 301-303 trabajo de los esfuerzos viscosos, 167 Entrefase, 28 Entropía, 15 Equilibrio de una partícula fluida, 61-62 flujo en reposo o a velocidad constante, 62 movimiento irrotacional, 62 movimiento viscoso arbitrario, 62 presión manométrica y de vacío, 62 traslación y rotación como sólido rígido, 62 Esferas ligeras ascendiendo por flotabilidad, 471 Esfuerzos turbulentos, 349 Esfuerzos viscosos, 61 Espesor de cantidad de movimiento, resistencia y, 441-442 Espesor de desplazamiento, 443-444 Estabilidad, 86-89 Estado (condición termodinámica), 15 Estado crítico, 24 Estados conjugados, 682 Estampido o bang sónico, 629 Estratificación, 225, 255 Examen de Fundamentos de Ingeniería (FE), 44 Experimentación en flujos externos, 461-486 área característica, 463 cuerpos bidimensionales, 466 cuerpos tridimensionales, 469-471 esferas ligeras ascendiendo por flotabilidad, 471 fuerzas aerodinámicas sobre vehículos terrestres, 471-474 fuerzas sobre cuerpos sustentadores (véase Cuerpos sustentadores) mecanismos biológicos de reducción de la resistencia, 477478 movimientos a bajos números de Reynolds, o movimientos lentos, 466-469 reducción de la resistencia, 474-475 resistencia de cuerpos a altos números de Mach, 476-477 resistencia de cuerpos bidimensionales, 468 resistencia de cuerpos sumergidos, 461-463 resistencia de fricción, 463-466 resistencia de presión, 463-466 resistencia del casco de un búque, 475-476

F F-18 Hornet, cazabombardero, 578 Factor de corrección para flujo compresible de gases, 410 Factor de forma, 448 Factor de velocidad, 406 Factores de conversión, 7 Fila infinita de torbellinos, flujo potencial plano, 513-514 Flotabilidad, 84-86, 395, 471 Flotador Swallow, 86 Fluctuaciones, en un flujo turbulento, 348 Fluido (véase también Flujo; Líquidos) campo de velocidades (véase Campo de velocidades) cavitación, 31-33 como medio continuo, 5-6 concepto de, 4-5 condición de continuidad de temperaturas, 33-35

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ÍNDICE Fluido (Cont.) condición de no deslizamiento, 33-35 condiciones de contorno, 33-35 conductividad térmica de un, 27 definición de, 4-5 densidad de un, 5-6 dilatante, 27 distribución de presiones (véase Distribución de presiones) estratificado, fuerzas hidrostáticas en un, 82-84 newtoniano, 23 no newtoniano, 27 número de cavitación, 31-33 plástico de Bingham, idealización de, 27 plástico, 27 presión de vapor, 31-33 propiedades térmicas (véase Propiedades termodinámicas) pseudoplástico, 27 reopético, 27 tixotrópico, 27 velocidad del sonido de un, 35-36 Flujo a velocidad constante, 62 alrededor de cuerpos, 437-503 analisis de capa límite (véase Capa límite) efectos del número de Reynolds, 437-440 efectos geométricos, 437-440 flujos externos (véase Experimentación en flujos externos) métodos integrales, 440-444 alrededor de esquinas o rincones con ángulo arbitrario, 527528 análisis diferencial (véase Ecuaciones diferenciales) circulación y (véase Circulación) clasificación según el número de Froude, 672-673 clasificación según la variación del calado, 672 coeficiente de, 406-407 corriente uniforme y torbellino, 512-513 descripción del, 37-40 en reposo o a velocidad constante, 62 entre cilindros concéntricos infinitamente largos, 269-270 entre placas paralelas, 25-26, 368 flujo laminar, 25 flujo turbulento, 25 hipótesis de análisis, 36-37 línea de corriente, 37-40 línea de traza, 37-40 línea fluida, 37-40 movimiento lento, 25 número de Reynolds, 24-25 perpendicular a una placa plana, 528-530 problemas de cálculo del caudal en conductos, 361-363 senda, 37-40 viscosidad (véase Viscosidad) visualización, 40-42 Flujo adiabático con fricción, 613-617 isentrópico, 586-591 con cambios de área, 591-599 de aire, 589-591 ecuación de Bernoulli, 589 entalpía de remanso, 586 relaciones de presión y densidad, 588 relaciones en función del número de Mach, 587-588 valores críticos en el punto sónico, 589 Flujo alrededor de cuñas, 648 Flujo alrededor de un cono, 648 Flujo alrededor de un cuerpo (véase Flujo) Flujo alrededor de un hidroala, 560 Flujo alrededor de un óvalo de Kelvin, 523

Flujo axilsimétrico, función de corriente (Ψ), 249 Flujo completamente turbulento, 335 Flujo compresible, 579-647 (véase también Flujo compresible en conductos con fricción) bloqueo y, 579 el gas perfecto, 581-582 expansión de Prandtl-Meyer (véase Expansión de PrandtlMeyer) factor de corrección para flujo de gases, 410 flujo de Fanno, 612 flujo hipersónico, 580, 581 flujo incompresible, 580 isentrópico (véase Flujo isentrópico) número de Mach, 580-582 onda de choque normal (véase Onda de choque normal) ondas de choque, 579 proceso isentrópico, 582-583 relación de calores específicos, 306, 581-582 subsónico, 580, 627-637 supersónico bidimensional, 627-637 supersónico, 580, 627-637 toberas convergentes, 606-608 toberas convergentes-divergentes, 608-611 transónico, 580 velocidad del sonido y, 579 Flujo compresible en conductos con fricción, 611-622 adiabático, 613-617 bloqueo y, 620 conductos largos, flujo isotérmico, 620 entrada subsónica, bloqueo debido a la fricción, 617 entrada supersónica, bloqueo debido a la fricción, 617-618 flujo isotérmico en conductos largos, 620 gasto másico para una caída de presión dada, 620-621 Flujo de cantidad de movimiento, 148-149 convenio de signos, 157 factor de corrección del, 156-157 unidimensional, 148-149 Flujo de Couette, 264-265, 271 Flujo de Fanno, 612 Flujo de Hagen-Poiseuille, 267-268 Flujo de Hele-Shaw, 524-526 Flujo de Poiseuille, 344 Flujo de Rayleigh, 623 Flujo de tipo chorro en difusores, 393 Flujo dominado por la rugosidad, 356 Flujo en canales abiertos, 669-722 aproximación unidimensional, 670-672 calado crítico (véase más abajo energía específica y calado crítico) canales eficientes para movimiento uniforme, 680-682 ángulo óptimo del trapecio, 681 clasificación del flujo según el número de Froude, 672-673 clasificación del flujo según la variación del calado, 672 corrientes compuestas, 699-701 energía específica y calado crítico, 682, 689 canales no rectangulares, 684-685 canales rectangulares, 683-684 compuerta, desagüe bajo, 688-689 flujo sin fricción sobre una elevación en la solera, 686-688 movimiento uniforme crítico, 685-686 pendiente crítica, 685-686 fórmula de Chézy (véase Fórmula de Chézy) movimiento uniforme, canales eficientes para, 680-682 movimiento uniforme: Chézy (véase Fórmula de Chézy) movimientos gradualmente variados, 694-701 canales irregulares, 698-699 corrientes compuestas, 699-701 ecuación diferencial básica, 694-695

ÍNDICE Flujo en canales abiertos (Cont.) solución numérica, 697-698 soluciones, clasificación de, 695-696 resalto hidráulico, 689-693 clasificación, 690 teoría para un resalto horizontal, 691-693 velocidad de onda superficial, 673-674 vertederos y curvas de remanso (véase Vertederos) Flujo en conductos sin fricción y con adición de calor, 623-627 efecto de la adición de calor en el número de Mach, 625 efectos de bloqueo debidos al calentamiento simple, 626-627 Flujo de Rayleigh, 623 onda de choque normal y, 627 Flujo en difusores, 382 actuaciones, experimentación, 390-395 coeficiente de recuperación de presión, 391 gradiente de presión en la capa límite, 457 separación, 457 subsónico y supersónico, 609, 610 Flujo en sistemas conectados en paralelo, 387-388, 753 Flujo en sistemas conectados en serie, 385-387, 754 Flujo estacionario adiabático e isentrópico, 589 compresible, conservación de la masa y, 224 ecuación de la energía, 170-171 laminar bidimensional, 560 plano compresible, función de corriente (Ψ), 248 sin fricción, o no viscoso, 179-180 Flujo hipersónico, 580, 581 Flujo incompresible, 580 condiciones de contorno con propiedades constantes, 241 conservación de la masa, 142-147 ecuación de conservación de la masa, 224-227 función de corriente (Ψ), 249, 250 plano, función de corriente (Ψ), 249, 250 Flujo isentrópico, 580 adiabático (véase Flujo adiabático) bloqueo, 595 con cambios de área, 591-599 de un gas perfecto con cambios de área, relaciones para el, 593-594 función de gasto másico local, 595-596 geometría del conducto y, 591-594 Flujo isotermo con fricción en conductos, 620 Flujo laminar, 25, 335 capa límite sobre una placa plana, 446-449 completamente desarrollado en un conducto, 267-269, 344347 flujo viscoso en conductos no circulares, 368 medidor de, 404 modelización del flujo viscoso bidimensional estacionario, 560 Flujo lento, 25 Flujo no viscoso aproximaciones, 242, 505-506 ecuación de Euler para el, 231 Flujo potencial, 505 análisis numérico, 549-563 flujos viscosos (véase Modelos numéricos para flujos viscosos), 549-563 método de diferencias finitas, 549-555 método de elementos finitos, 549-550 método de los elementos de contorno, 555-557 analogías, formas de cuerpos cerrados, 524-525 axilsimétrico (véase Flujo potencial axilsimétrico) circulación, 509 concepto de función de corriente (Ψ), 507, 555 concepto de potencial de, 505-507 coordenadas polares, 249, 250

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soluciones elementales en flujos planos (véase Flujo potencial plano) Flujo potencial axilsimétrico, 543-549 coordenadas esféricas, 544 corriente uniforme en la dirección x, 544 corriente uniforme más un doblete puntual, 547-548 corriente uniforme más una fuente puntual, 545-547 doblete puntual, 545 fuente o sumidero puntual, 545 masa añadida, 548-549 Flujo potencial plano, 508-532 corriente uniforme con ángulo de ataque, 526 esquina o rincón de ángulo arbitrario, 527-528 formas de cuerpos cerrados (véase Formas de cuerpos cerrados) fuente puntual situada en el punto z0, 527 método de las imágenes, 530-532 normal a una placa plana, 528-530 superposición de soluciones, 510-516 capa de torbellinos, 514-515 desprendimiento de la capa límite en un cuerpo semiinfinito, 511-512 doblete (par fuente-sumidero), 515-516 ejemplos, 510-511 fila infinita de torbellinos, 513-514 flujo alrededor de un torbellino, 512-513 método gráfico, 510 teoría de perfiles (véase Teoría de perfiles) torbellino puntual situado en el punto z0, 527 transformación conforme, 525-526 Flujo rotacional, 257 Flujo secundario, turbulento, 374 Flujo sin fricción sobre una elevación en la solera, 686-688 Flujo subsónico, 580 Flujo supersónico, 580, 647-648 Flujo supersónico tridimensional, 647-648 Flujo transónico, 580 Flujo turbulento en conductos, 353-360 dominado por la rugosidad, 356 efecto de la rugosidad de la pared, 355-357 paredes hidrodinámicamente lisas, 356 paredes rugosas y, 355-357 problemas de flujo en conductos (véase Resolución de problemas de flujo en conductos), 357-360 rugosidad de transición, 356 Flujo unidimensional de cantidad de movimiento, 148-149 Flujo unidimensional no estacionario, 557-558 Flujo uniforme crítico, en canales abiertos, 685 Flujo viscoso en conductos, 335-435 coeficiente de recuperación de presión, 390 conductos no circulares (véase Flujo viscoso en conductos no circulares) experimentación: actuaciones de un difusor, 390-395 flujo laminar completamente desarrollado en conductos, 344347 flujo turbulento en conductos (véase Flujo turbulento en conductos) flujos viscosos internos y externos, 340-342 medidores en fluidos (véase Medidores en fluidos) modelos de turbulencia (véase Modelos de turbulencia) pérdida de carga (el coeficiente de fricción), 342-344 pérdidas localizadas (véase Pérdidas localizadas) problemas de flujo en conductos (véase Resolución de problemas de flujo en conductos) regímenes en función del número de Reynolds, 335-340 sistemas de tuberías (véase Sistemas de tuberías) Flujo viscoso en conductos no circulares, 366-376 a través de una sección anular, 371-374

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ÍNDICE Flujo viscoso en conductos no circulares (Cont.) diámetro hidráulico, 367-368 flujo entre placas paralelas, 368 solución para flujo laminar, 368-369 solución para flujo turbulento, 369-371 Flujo, o gasto, másico, 148 a través de una superficie, 132-133 función, local, 595-596 medidores de caudal, 404 para una caída de presión dada, 620-621 Flujos bidimensionales análisis de capa límite, 444-446 estacionarios, laminares, viscosos, 560 onda de choque oblicua, 630-637, 641 ondas de Mach y, 628-630 supersónicos, 627-637 Flujos bifásicos, 4 Flujos de energía unidimensionales, 168-170 Flujos irrotacionales no viscosos, 253-258 generación de vorticidad, 255-258 ortogonalidad de las líneas de corriente y equipotenciales, 254-255 potencial de velocidades, 254, 505-507 Flujos irrotacionales, 234, 244, 251-253 Flujos oscilatorios, adimensionalización y, 305 Flujos turbulentos (véase también Flujo turbulento en conductos) capa límite sobre una placa plana, 446-455 completamente desarrollado, 335 en conductos no circulares, 369-371 fluctuaciones en, 348 flujo viscoso en conductos no circulares, 369-371 longitud de mezcla turbulenta, 352 paredes rugosas y, 355-357 región exterior, 350 región interior o de la pared, 349-350 región intermedia o de solape, 350 rugosidad de transición, 356 secundario, 374 Fórmula de Hazen-Williams, 295 Fórmula de Manning para canales abiertos, 295 Fórmula de Pitot, 397 Fórmula hidrostática lineal para gases, validez de la, 68-69 Fórmulas de Chézy, 674-680 coeficiente de Chézy, 675 correlación de rugosidad de Manning, 676-678 estimación de profundidad, 678-679 flujo en un conducto circular parcialmente lleno, 679-680 Fricción coeficiente de fricción, 306, 614 flujo compresible en conductos (véase Flujo compresible en conductos con fricción) pérdidas por fricción, bombas centrífugas, 729 resistencia de fricción, 463-466 trabajo de partes móviles, o trabajo motor, y, 171-173 velocidad de fricción, 350 Fricción superficial coeficiente de, 306, 442 ley de, 451 Fuente bidimensional, 259-261 más sumidero de igual intensidad, 260-261 situada en el punto z0, 527 Fuente o sumidero, 545 Fuerza coeficiente de, 288 de sustentación oscilatoria, 462 ejercida sobre una masa, aceleración y, 130 lateral, 462 sobre cuerpos sustentadores (véase Cuerpos sustentadores)

Fuerzas aerodinámicas sobre vehículos terrestres, 471-474 Fuerzas aplicadas, cantidad de movimiento, 157 Fuerzas con variaciones espaciales, 60 Fuerzas de presión, resultante sobre una superficie cerrada, 149151 Fuerzas de superficie, 228 Fuerzas hidrostáticas (véase también Distribución de presiones en hidrostática) en fluidos estratificados, 82-84 fórmulas de presión manométrica, 76-79 sobre superficies curvas, 79-82 sobre superficies planas, 73-79 Fuerzas volumétricas, 228 Función de corriente (Ψ), 226, 243-251 flujo axilsimétrico incompresible, 249 flujo plano incompresible en coordenadas polares, 249, 250 flujo plano, compresible y estacionario, 248 flujo potencial y, 507, 555 interpretación geométrica, 245-248 Función de disipación viscosa, 237 Función de gasto másico local, 595-596 Función de Prandtl-Meyer para la expansión supersónica, 640 Función de Prandtl-Meyer para un gas perfecto, 638-640

G Gases, 4-5 distribución de presión hidrostática en, 67-69 factor de corrección para el flujo compresible de gases, 410 función de Prandtl-Meyer para un gas perfecto, 638-640 medida de la presión, 98 métodos de medida de presión basados en las propiedades de los gases, 98 perfectos, 18, 20-21, 581-582, 593-594 relaciones de estado para, 17-21 función de Prandt-Meyer para un gas perfecto, 638-640 ley de los gases perfectos, 18, 20-21 relaciones de cambio de área para, 593-594 Generación de mallas, 560, 561 Geometría como obstáculo para el análisis de los flujos, 3 efectos de, flujo alrededor de cuerpos, 437-440 Gradiente de presión, 16, 59-60 adverso, 439, 465, 511 favorable, 439, 465, 511 flujo entre dos placas fijas debido a un, 265-267 vector, 231 Gradientes de esfuerzos, 229 de presión, 16, 231 Gravedad variable, presión hidrostática y, 64-65 Grumman Corp., 286 Guiñada, 462

H Hidrodinámica, 548 Hodógrafa, 632

I Icebergs, 89 Incertidumbre, de los datos, 43-44

ÍNDICE Inestabilidad del flujo con cilindro interior rotatorio, 271272 Ingeniería del viento, 437 Ingeniería oceánica, 437 Integral de cantidad de movimiento para la capa límite sobre una placa plana, 442 Integrales de cantidad de movimiento, 442 Intensidad de la turbulencia, 348 Intensidad, de un doblete, 515 Interpretación geométrica de la función de corriente (Ψ), 246248

L Lámina en régimen rápido, 702 Ley de Fourier de la conducción de calor, 27 Ley de la capa logarítmica, 350-351 Ley de la pared, 350 Ley de líquidos perfectos, 21 Ley de Pascal, relación hidrostática y, 71 Ley del defecto de velocidad, 350 Leyes básicas de la Mecánica de Fluidos, 129-133 análisis diferencial (véase Análisis diferencial) análisis dimensional (véase Análisis dimensional) cantidad de movimiento (véase Ecuación de la cantidad de movimiento) conservación de la masa (véase Conservación de la masa) ecuación de la energía (véase Ecuación de la energía) flujo sin fricción (véase Ecuación de Bernoulli) sistemas frente a volúmenes de control, 130-132 teorema del momento cinético, 130-132, 161-166 volúmenes de control (véase Análisis de volumen de control) Leyes de escala, 288 Leyes de la mecánica, 37 Línea de altura motriz (LAM), 180-185, 669 Línea de Fanno, 612 Línea de flotación, área delimitada por la, 87-89 Línea de flotación, huella de la, 88 Línea de nivel de energía (LNE), 180-185, 682 Línea de Rayleigh, 623 Línea de traza, 37-40 Línea fluida, 37-40 Linealizador, 397 Líneas de corriente, 37-40, 168, 254-255 Líneas equipotenciales, ortogonalidad de las, 254-255 Líquido que moja, 30 Líquido que no moja, 30 Líquidos, 4-5 (véase también Fluido) distribución de presión hidrostática en, 65-66 ecuaciones de estado para, 21-22 que mojan, 30 que no mojan, 30 tensión superficial, 28-31 Lockheed-Martin Co., 649 Longitud de mezcla, viscosidad turbulenta, 352

M Manómetros/Manometría, 69-73, 98 ecuación de la hidrostática y, 70-71 fórmula del manómetro, 71-72 Masa (véase también Conservación de la masa) como dimensión primaria, 7-10 hidrodinámica, 548 Masa añadida, 548

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Masa hidrodinámica, 548 Masa virtual, 548 Matrices tridiagonales, algoritmo para la resolución de (TDMA), 558-559 Matriz de coeficientes, 559 Mecánica de fluidos dimensiones 297 (véase también Análisis dimensional) historia y perspectiva de la, 45-46 leyes básicas (véase Leyes básicas de la Mecánica de Fluidos) Mecánica de Fluidos Computacional (CFD), 3, 129, 232, 444 flujo viscoso (véase Modelos numéricos para flujos viscosos) simulación de bombas, 749 Mecanismos biológicos de reducción de la resistencia, 477-478 Medida de la presión, 98-102 manómetros (véase Manómetros/Manometría) métodos basados en la deformación elástica, 98, 99-100 métodos basados en la gravedad, 98 métodos basados en las propiedades de los gases, 98 métodos con salida eléctrica, 98, 100-102 pinturas luminiscentes para distribución de presiones sobre superficies, 98 Medida de presión basada en la gravedad, 98 Medidor de caudal de Coriolis, 404 Medidor de disco giratorio, 400 Medidor de gasto másico, 404 Medidor de hélice, 400 Medidor de turbina, 400 Medidor ultrasónico, 402 Medidor venturi, 409-410 Medidores de caudal, 143, 399-413 electromagnéticos, 397 factor de corrección del flujo compresible de un gas, 410 medidor de disco giratorio, 400 medidor de flujo laminar, 404 medidor de gasto másico de Coriolis, 404 medidor de turbina, 400 medidor por desprendimiento de torbellinos, 400, 402 medidor ultrasónico, 402 medidor venturi, 409-410 orificio en placa delgada, 407-409 rotámetro, 403-404 teoría de la obstrucción de Bernoulli, 405-407 tobera para medida de caudal, 409 Medidores de presión basados en deformaciones elásticas, 98, 99 Medidores de presión con salida eléctrica, 98, 100-102 Medidores de velocidad local, 395-399 anemómetro de hilo caliente, 397-398 anemómetro láser-doppler, 398-399 dispositivos mecánicos giratorios, 395 medidor electromagnético, 397 partículas flotantes o de flotabilidad neutra, 395 tubo Pitot, 396-397 Medidores de volumen, 399-400 Medidores en fluidos, 395-413 Medio continuo, el fluido como un, 5-6 Menisco, 73 Metacentro, 87 Método de diferencias finitas, 550-555 Método de elementos finitos, 550 Método de las imágenes, flujo potencial plano, 530-532 Método de los elementos de contorno (BEM), 555-556 Método descriptivo euleriano, 219 Método gráfico, de superposición, 510 Métodos implícitos, modelos numéricos para flujos viscosos, 558-559 Microburbujas, 475

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ÍNDICE Microrranuras en foma de «v», 475 MLB, Co., 484 Modelización, 310-320 ensayos en aire y agua, 314-320 semejanza cinemática, 312-313 semejanza dinámica, 313-314 semejanza geométrica, 311-312 semejanza, 288, 310, 312-314 Modelos a escala, 288 Modelos de dinámica molecular, 581 Modelos de turbulencia, 347-353 avanzados, 351-353 capa logarítmica de solape, 350-351 media temporal de Reynolds, 348-350 resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes con, 560 Modelos explícitos, 558 Modelos numéricos de tipo aguas arriba, 560 Modelos numéricos inestables, 558 Modelos numéricos para flujos viscosos, 557-563 algoritmo para matrices tridiagonales (TDMA), 559 códigos CFD comerciales, 560-563 flujo laminar bidimensional estacionario, 560 flujo unidimensional no estacionario, 557-558 generación de mallas, 560, 561 modelos implícitos, 558-559 para el flujo alrededor de un hidroala, 560 Módulo de compresibilidad, 585 Molino de viento multipala americano, 765 ecuación diferencial del, 234-235 teorema del, 130-132, 161-166 Momento de balance, 461 Momento de cabeceo, 462 Movimiento gradualmente variado, 672 (véase también Flujo en canales abiertos) Movimiento irrotacional, 62 Movimiento lento, 25 Movimiento rápidamente variado, 672 Movimiento viscoso arbitrario, 62

N NASA, 436, 481 National Research Council, Canadá, 765 No aireado, vertedero, 702 No estacionario, flujo unidimensional, 557-558 Nodos, 550 Northrop Grumman, 648, 765 Número de Betz, 767 Número de Eckert, 306 Número de Euler, 303, 306 Número de Froude, 303, 306, 307, 672 Número de Grashof, 306 Número de Mach, 36, 306, 580-581 adimensionalización y, 303, 305 efecto de la adición de calor en el, 624 flujo estacionario adiabático e isentrópico, 588 onda de choque normal, 600-603 resistencia de cuerpos a altos números de Mach, 476-477 Número de Prandtl, 306 Número de Rayleigh, 306 Número de Reynolds, 24-25, 306 adimensionalización y, 303, 305 flujo alrededor de cuerpos, 437-440 flujo viscoso en conductos, 335-340 Número de Rossby, 306 Número de Strouhal, 306 Número de Taylor, 271-272

Número de Weber, 303, 306 Nutación, 400

O Ojo, carcasa de una bomba, 728 Ondas de choque, 579 débil, 632-635 curvada delante de un cuerpo romo, 477 fuertes o intensas, 632-635 muy débil, 635-636 normal (véase Onda de choque normal) oblicua, 630-635 Onda de choque normal, 758, 763 flujo en conductos sin fricción y con adición de calor, 627 móvil, 603-606 relaciones de Rankine-Hugoniot, 599-600 relaciones en función del número de Mach, 600-602 Ondas de expansión de Prandtl-Meyer, 637-649 flujo supersónico tridimensional, 647-648 función de Prandtl-Meyer para un gas perfecto, 638-641 perfiles supersónicos (véase Perfiles supersónicos) teoría de perfiles delgados, 644-645 aeronáutica, nuevas tendencias en, 648-649 Ondas de Mach, 628-630 Orificio en placa delgada, 407-409 Oscilaciones de bombeo, 734 Oscilaciones de la pared, 475 Óvalo de Rankine, 516-518

P Paracaídas, para frenado de automóviles, 473-474 Parámetros adimensionales, 303 básicos de salida de bombas centrífugas, 728-729 de compresibilidad, 304 de escala, 291-393 principio de hom*ogeneidad dimensional, definición, 291 Paredes hidrodinámicamente lisas, flujo en conductos con, 356 Partículas flotantes o de flotabilidad neutra, velocidad local y, 395 Partículas flotantes, para medir la velocidad local, 395 Pendiente crítica, flujo en canales abiertos, 685-686 Pérdida del compresor, 756 Pérdidas localizadas, 376-384, 619 aristas vivas y, 380 coeficiente de pérdida, 376 contracción brusca, 380-383 contracción gradual, 383 difusor, 382 diseño de válvulas, 377-380 expansión brusca, 380-383 salidas sumergidas y, 380 válvula de ángulo, 377, 378 válvula de compuerta, 377, 378 válvula de disco, 377 válvula de globo, 377, 378 válvula de mariposa, 379 válvula de no retorno, 377, 378 vena contracta, 382 Pérdidas por desprendimiento, bombas centrífugas, 729 Perfiles, 478-484 (véase también Teoría de perfiles) alargamiento, 482-483 burbuja de separación, 479 coeficiente de resistencia, 479, 481-488

ÍNDICE Perfiles (Cont.) coeficiente de sustentación 479 curvatura, 478 de doble cuña, 643 de Kline-Fogleman, 483-484 gruesos con curvatura, 537-539 NACA, 481-482, 538-539 pérdidas y, 480, 483 primeros, 481 torbellino de arranque, 479 torbellino de parada, 479 velocidad de entrada en pérdida, 483 Perfiles supersónicos coeficiente de sustentación, 642 ondas de expansión de Prandtl-Meyer, 641-644 perfil en diamante o doble cuña, 643 teoría de ondas de choque y expansiones, 642 Peso específico, 16-17, 65 Pinturas luminiscentes para distribución de presiones sobre superficies, 98 Poise, 9 Polar de la onda, 632-633 Polímeros de alto peso molecular, 475 Potencia al freno, 729 Potencia nominal, turbinas, 763 Potencia suministrada al fluido, bombas centrífugas, 729 Potencia útil, bombas centrífugas, 729 Potencial de velocidades, 254 Potencial de velocidades, flujos no viscosos, 254, 505-507 Presa Grand Coulee, 759, 761 Presas (véase Vertederos) Presión (véase también Distribución de presiones) absoluta, 62 como propiedad termodinámica, 15 de remanso, 396, 625 de un fluido, 5 de vacío, fluido en equilibrio y, 62-63 de vapor, 31-33 Presión manométrica equilibrio de una partícula fluida, 62-63 fórmulas, 76-79 y presión de vacío, 62-63 Presión relativa, 62-63 Presión, 6, 15 (véase también Distribución de presiones) Primer principio de la termodinámica, 37 Principio de hom*ogeneidad dimensional (PHD), 290-295 algunas ecuaciones peculiares en ingeniería, 294-295 ambigüedad y, 291-293 constantes dimensionales, 290 constantes puras, 291 fórmula de Hazen-Williams, 295 fórmula de Mannings para canales abiertos, 295 parámetros de escala, 291-293 parámetros, definición de, 291 variables dimensionales, 290 variables dimensionalmente independientes, 291-294 variables y constantes, 290-291 variables, definición de, 291 Principio de los estados correspondientes, 24 Proceso adiabático, 585 Proceso isentrópico, 582 ondas de choque débiles, 636 Propiedades termodinámicas, 15-22 densidad relativa, 17 densidad, 16 energía cinética, 17 energía potencial, 17 peso específico, 16-17

831

presión, 16 relaciones de estado para gases, 17-21 relaciones de estado para líquidos, 21-22 temperatura, 16 viscosidad (véase Viscosidad) Prototipos, 288 Protuberancia, 476 Punto crítico, 4 Punto de control del canal, 707 Punto de máximo rendimiento (PMR), bombas, 734-736 Punto de remanso, 40 Punto de separación, o desprendimiento, 455 Punto sónico, valores críticos en el, 589 Puntos homólogos, 311

R Red ortogonal de flujo, 254-255, 507 Régimen lento, velocidad de, 683 Régimen rápido, lámina en, 702 Régimen rápido, velocidad de, 683 Región de entrada, 340 Región de relaminarización, 336 Región exterior, flujo turbulento, 350 Región interior o de la pared, flujo turbulento, 350 Región intermedia, flujo turbulento, 350 Regla mnemotécnica, manometría, 70-73 Relación de presiones de diseño, en toberas, 608-609 Relación de temperaturas, 306 Relaciones adiabáticas, 622 Relaciones de Rankine-Hugoniot, 599-600 Rendimiento, o eficiencia de aerogeneradores, 767 de bombas centrífugas, 729 de un canal abierto, 680-682 hidráulico, 729 mecánico, 729 punto de máximo rendimiento (PMR), 734-736 volumétrico, 729 Reología, 4 Resalto hidráulico, 674 (véase también Flujo en canales abiertos) Resalto hidráulico horizontal, teoría para un, 691-693 Resistencia a altos números de Mach, 476-477 coeficiente, 306, 448, 466 cuerpos tridimensionales, 469-471 perfiles, 479-484 cuerpos sumergidos y, 461-463 de barcos, 475-476 de cilindros rotatorios, 521-522 de cuerpos bidimensionales, 468 de fricción, 463-466 de perfiles, 481-484 de presión, 463-466 definición de, 461 fuerza lateral, 462 guiñada, 462 momento de alabeo, 461 momento de cabeceo, 462 por formación de olas, 475 reducción, 471-474, 476-477 sustentación, 462 Resolución de problemas de flujo en conductos, 360-366 (véase también Flujo viscoso en conductos) cálculo del caudal, 361-363 cálculo del diámetro del conducto, 364-366

832

ÍNDICE Resolución de problemas de flujo en conductos (Cont.) diagrama de pérdida de carga, 361 flujo isotermo con fricción, 620 flujo laminar completamente desarrollado, 344-347 redes de turberías, 389-390 tuberías en paralelo, 387-388 tuberías en serie, 385-387 Rotación como sólido rígido, 92-98 Rotámetro, 403-404 Rotor de Savonius, VAWT, 767 Rugosidad de transición, flujo turbulento en conductos, 356 Rugosidad relativa, 305, 306 Rugosidad, valores de la, para conductos comerciales, 358

S Salidas adimensionalización y, 301-302 superficies de entrada/salida perpendiculares al flujo, 157 trabajo de los esfuerzos viscosos, 167 Salidas sumergidas, 380 Salinidad, 21 Sección variable, flujo isentrópico con (véase Flujo isentrópico) Segunda ley de Newton, 37 (véase también Ecuación de la cantidad de movimiento) Semejanza (véase también Modelización) reglas de, actuaciones de bombas, 741-742 cinemática, 312-313 dinámica, 313-314 geométrica, 311-312 Semejanza, 288, 310 (véase también Modelización) Senda, 37-42 Sensores giratorios, para medir la velocidad, 395 Sensores, presión, 98-102 Sistema de coordenadas inercial, 148 Sistema de referencia no inercial, 158-160 Sistema Internacional de Unidades (SI), 7 Sistemas de tuberías, 384-390 redes de tuberías, 389-390 tres depósitos interconectados, 388-389 tuberías en paralelo, 387-388 tuberías en serie, 385-387 Sistemas infinitesimales (véase Análisis diferencial) Sólidos, 4-5, 167 Soluciones elementales en flujos planos, 508-509 Sonic Cruiser, 670 Stokes, 9 Sumidero, 259 flujo potencial axilsimétrico, 543 fuente más sumidero de igual intensidad, 260-261 más torbellino en el origen, 261 Superficie de una máquina, esfuerzos viscosos sobre, 167 Superficie fija, adimensional, 301-313 Superficie libre, 301-313, 506 Superficies de entrada/salida perpendiculares al flujo, 157 Superficies planas, fuerza hidrostática sobre, 73-79 Superposición: fuente más sumidero de igual intensidad, 260-261 Sustentación, 462 de cilindros rotatorios, 521-522 fuerzas oscilatorias, 462

T Tacoma Narrows, puente de, 304 Técnicas de resolución de problemas, 45 flujo en conductos (véase Resolución de problemas de flujo en conductos)

Temperatura, 16 como dimensón primaria, 7-10 como propiedad termodinámica, 15 crítica, 4 de remanso, 602 escala aboslu*ta de, 16 escala de Celsius de, 16 escala de Farenheit de, 16 viscosidad y, 26-27 Tensión superficial, 28-31 Teorema de Kutta-Joukowsky para la sustentación, 519-521, 532 Teorema del transporte de Reynolds, 129 (véase también Análisis de volumen de control) Teorema Pi de Buckinham, 289, 295-301 Teoría de bombas ideales, desviaciones de la, 736-737 Teoría de la capa de torbellinos para una placa plana, 533-537 Teoría de la línea sustentadora (Prandtl), 541 Teoría de las ondas supersónicas de Prandtl-Meyer, 638 (véase también Ondas de expansión de Prandtl-Meyer) Teoría de ondas de choque y expansiones, 641 Teoría de perfiles, 532-543 alas de alargamiento finito, 539-543 condición de Kutta, 532-533 perfiles delgados, 644-645 perfiles gruesos con curvatura, 537-539 placa plana, teoría de la capa de torbellinos, 533-537 teorema de Kutta-Joukowski, 532 Teoría de perfiles, de Ackeret, 644-645 Teoría de Prandtl de la línea sustentadora, 541 Teoría elemental de bombas, 730-733 Teoría integral para la capa límite laminar, 458-460 Teoría potencial, 507 Teoría potencial con discontinuidades, 530 Términos de flujo unidimensionales, 138-141, 148, 168-170 Tiempo, como dimensión primaria, 7-10 Toberas capa límite con gradiente de presión en un sistema difusor-tobera, 456-457 convergentes, 606-608 convergentes-divergentes, 608-611 flujo en, 409 medida de caudal, 409 relación de presiones de diseño, tobera adaptada, 608 para medida de caudal, 409 Toma estática, 98-99 Torbellino bidimensional irrotacional, 259-260 Torbellino bidimensional situado en el punto z0, 527 Torbellino de arranque, 479 Torbellino de parada, 479 Torbellino/torbellinos alas de alargamiento finito y, 539-540 capa de torbellinos, 514-515 corriente uniforme y, 512-513 en el origen, más sumidero, 261 fila infinita de, flujo alrededor de una, 513-514 medidores de caudal, 400, 402 vorticidad, 251-253 Trabajo motor, o de partes móviles, 167, 171-173 Transductor piezoeléctrico, 100 Transferencia de calor, 16 (véase también Flujo en conductos sin fricción y con adición de calor) Transformaciones, variable compleja, 528 Transición, 335 Transporte, 437 Trapecio, ángulo óptimo para canales eficientes, 681 Trasformación conforme, 525-526 Tres depósitos interconectados, 388-389

ÍNDICE Troposfera, 68 Tubo Bourdon de cuarzo y fuerza equilibrada, 100 Tubo Bourdon, 99-100 Tubo de corriente, 38 Tubo Pitot, 396-397 Tubo venturi, 183 Tubos de choque, 606 Túnel de viento, 133 Turbina de Francis helicocentrífuga, 757 Turbina de Francis radial, 757, 760 Turbina Kaplan, 757, 760 Turbina Pelton, 759-764 Turbinas, 756-769 (véase también Turbomaquinaria) de hélice, 757, 759, 760 de impulso, 757, 760 de reacción, 756-757 de viento (véase Aerogeneradores) Francis helicocentrífuga, o de flujo mixto, 757 Francis radial, 757, 760 potencia nominal, 763 potencia normal, 758, 763 radiales, 757-758 teoría ideal de turbinas radiales, 757-758 tipo Francis, 757, 759, 760 tipo Kaplan, 757, 760 velocidad específica, 758-759 Turbomáquinas, 162 bombas (véase Bombas) compresores, 725 simulación numérica de, 751 soplantes, 725 ventiladores, 725 Turbulencia, 3

U Unidades (véase Dimensiones y unidades) Unidades consistentes, 9, 10-11 Uniforme, movimiento, 672 canales abiertos (véase Fórmula de Chézy) canales eficientes, 680-682 en un tubo circular parcialmente lleno, 679-680

V Valores críticos, en el punto sónico, 589 Válvula de ángulo, 377, 378 Válvula de compuerta, 377, 378 Válvula de globo, 377, 378 Válvula de mariposa, 379-380 Válvula de retención o antiretorno, 377, 378 Válvulas, coeficiente de flujo, 11 Válvulas, diseños de, 377-380 Vapor, 19 Variables adimensionales, 287 definición, 291 dimensionalmente independientes, 291-294 dimensionales, 290 hom*ogeneidad dimensional y, 290 termodinámicas primarias, 22 y constantes, principio de hom*ogeneidad dimensional, 290291 Variado, movimiento, 672 Vehículos terrestres, fuerzas aerodinámicas sobre, 471-474 Velocidad axial en flujo completamente desarrollado, 340

833

Velocidad constante, flujo a, 62 Velocidad de deformación, 252 Velocidad de entrada en pérdida, 483 Velocidad de onda superficial, flujo en canales abiertos, 673674 Velocidad del sonido, 35-36, 583-586 Velocidad específica de succión, 746 Velocidad específica de turbinas, 12 Velocidad específica, 744, 748-749 Velocidad media volumétrica, 143 Velocidad media, 143 Velocimetría mediante seguimiento láser de partículas (LPTV), 751 Vena contracta, 382 Ventiladores, 725 VentureStar, vehículo de lanzamiento hipersónico, 648 Venturi clásico, 409 Venturi Herschel, 409 Vertedero Crump, 702 Vertederos, 701-708 aireados, 702 coeficientes de descarga, 703-704 Crump, 702 curvas de remanso aguas arriba, 707-708 de pared delgada fuertemente aireados, 703 de pared delgada, 702 de pared gruesa con borde redondeado, 703 de pared gruesa, 702-703 diseños de pared delgada, 705-706 en V, 705-706 no aireados, 702 poligonales, 702 rectangulares sin contracciones laterales, 705-706 rectangulares, 704, 705-706 triangular, 705-706 Viscosidad, 22-27 absoluta, 9 cinemática, 9, 23, 25 coeficiente de, 15, 23 como obstáculo para el análisis de los flujos, 3 efecto en las actuaciones de una bomba, 743 flujo entre placas paralelas, 25-26 número de Reynolds, 24-25 turbulenta, 352 variación con la temperatura, 26-27 Visualización del flujo, 40-42 Voith Siemens, 760, 761 Volumen (véase también Análisis de volumen de control) Volumen de control fijo arbitrario, 135-136 Volumen de control fijo unidimensional, 134-135 Volumen de control móvil/deformable arbitrario, 137-138 Voluta, carcasa de bombas, 728 Vorticidad, ecuaciones diferenciales de los fluidos, 251-253 Vorticidad, flujo irrotacional no viscoso, 255-258

X X-33, vehículo de lanzamiento hipersónico, 648 X-35, avión de combate supersónico, 649

Z Zona de acción, 629 Zona de silencio, 629 flujo volumétrico y flujo másico, 132-133 no viscosos (véase Flujos irrotacionales no viscosos) sin fricción, o no viscoso incompresible, 179

mecánica de fluidos

quinta edición

FRANK M. WHITE En esta quinta edición de Mecánica de Fluidos se ha añadido y suprimido material con respecto a ediciones anteriores, aunque la filosofía del libro se mantiene intacta así como su estilo informal orientado a los estudiantes. Se siguen discutiendo los tres métodos: integral, diferencial y experimental. Se han añadido nuevos problemas y se han modificado muchos otros, hasta llegar a los 1650 problemas de esta edición. Novedades de la quinta edición: • Se introduce y utiliza un método sistemático para resolver problemas a través de los ejemplos de los capítulos. • El capítulo 1 se ha revisado para orientar a los estudiantes en los conceptos básicos y la metodología. • Las explicaciones, ejemplos y problemas enfatizan los aspectos de la mecánica de fluidos en la ingeniería. • 200 nuevos problemas han sido añadidos.

ISBN 10: 84-481-4076-1 ISBN 13: 978-84-481-4076-2

9 788448 14076 2

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Mecanica de los Fluidos - White - 5ta Edición - PDFCOFFEE.COM (2024)